大數定律

定義：

設$X_1,X_2,...,X_n,...$為隨機變數序列，$X$為隨機變數，若對任意的正數$\epsilon$有：$\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\geqslant\epsilon)=0$或$\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|<\epsilon)=1$則稱$X_n$依概率收斂於$X$

切比雪夫不等式

由於方差$D(X)$是用來描述隨機變數$X$的取值在其數學期望$E(X)$附件的離散程度的，因此，對任意的正數$\epsilon$，事件$(|X-E(X)|\geqslant\epsilon)$發生的概率應該與$D(X)$有關，而這種關係用數學形式表示出來，就是切比雪夫不等式。

切比雪夫不等式定理 設隨機變數$X$的數學期望$E(X)$與方差$D(X)$存在，則對於任意正數$\epsilon$，不等式$P(\mathrm{\mid }X$

切比雪夫不等式的重要意義 切比雪夫不等式給出了在隨機變數$X$的分佈未知的情況下，只利用$X$的數學期望和方差即可對$X$的概率分佈進行估值的方法。

切比雪夫大數定律

切比雪夫大數定律定理 設獨立隨機變數序列$X_1,X_2,...$的數學期望$E(X_1),E(X_2),...$和方差$D(X_1),D(X_2),...$都存在，並且方差是一致有上界的，即存在常數$C$，使得$D(X_i)\leqslant C，i=1,2,...,n...$ 則對於任意的正數$\epsilon$，有$\lim_{n\to \infty}P(|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)| < \epsilon) = 1$ 切比雪夫大數定律的統計意義 獨立隨機變數序列$X_1,X_2,...,X_n,...$的數學期望與方差都存在，且方差一致有上屆，則經過算術平均後得到的隨機變數$\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$當$n$充分大時，它的值將比較緊密地聚集在它的數學期望$E(\overline X)$附件。

伯努利大數定律

伯努利大數定律是切比雪夫大數定律的一個重要推論 伯努利大數定律定理 設$n_A$為$n$重伯努利試驗中事件$A$發生的次數，又設在每次試驗中事件$A$發生的概率$P(A)=p$，則對於任意的正數$\epsilon$，當試驗的次數$n\to\infty$時，有$\lim_{n\to\infty}P(|\frac{n_A}{n}-p|<\epsilon)=1$

伯努利大數定律的統計意義 當試驗在相同條件下重複進行很多次時，隨機事件$A$的頻率$f_n(A)=\frac{n_A}{n}$，將穩定在事件$A$的概率$P(A)=p$附近，即頻率收斂於概率。

中心極限定理

中心極限定理是研究獨立隨機變數和的極限分佈為正態分佈的命題。