matlab多項式及其運算
阿新 • • 發佈：2018-12-22
0 建立多項式
多項式的一般形式如下：
我們可以使用它的係數向量來表示，
matlab中，提供了poly2sym函式實現多項式的構造。
- r = poly2sym(c)：c為多項式的係數向量
- r = poly2sym(c, v)：c為多項式的係數向量，v為其變數
>> poly2sym([1 3 2])
ans =
x^2 + 3*x + 2
>> poly2sym(sym([1 0 1 -1 2]),sym('y'))
ans =
y^4 + y^2 - y + 21.多項式的求根
多項式的根：
matlab使用roots函式求解多項式的根，即求解函式等於0的根
- r = roots(c)：其中c為多項式的係數向量，r為求解多項式的根
>> p = [1 -12 0 25 116];
>> r = roots(p);
>> p
p =
1 -12 0 25 116
>> r
r =
11.7473 + 0.0000i
2.7028 + 0.0000i
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i由根建立多項式：
matlab中規定，多項式是行向量，根是列向量。給出一個多項式的根，也可以構造相應的多項式。
- p = poly(A)：如果A為方陣，則多項式p為該方陣的特徵多項式；如果A為向量，則A的元素為該多項式p的根。n階方陣的特徵多項式存放在行向量中，並且特徵多項式最高次的係數一定為1
>> pp = poly(r)
pp =
1.0000 -12.0000 -0.0000 25.0000 116.00002.多項式的四則運算
多項式的加法：
如果兩個多項式向量大小相同，相加時就與標準的陣列加法相同
>> p1 = [5 40 6 21 9 3]; >> p2 = [4 0 3 72 1 8]; >> p3 = p1 + p2 p3 = 9 40 9 93 10 11 >> r1 = poly2str(p3,'x') % 顯示多項式 r1 = 9 x^5 + 40 x^4 + 9 x^3 + 93 x^2 + 10 x + 11 >> p4 = p1 - p2 p4 = 1 40 3 -51 8 -5 >> r2 = poly2str(p4,'x') % 顯示多項式 r2 = x^5 + 40 x^4 + 3 x^3 - 51 x^2 + 8 x - 5
注意：當兩個多項式階次不同時，低階的多項式用首0填補，使其與高階多項式有同樣的階次。要求首零而不是尾0，是因為相關的係數像x冪一樣，必須整齊
多項式的乘法：
conv函式實現多項式的乘運算，deconv函式實現多項式的除運算
- c = conv(a,b)：執行a，b兩個向量的卷積運算
- c = conv(a,b,'shape')：按形參‘shape’返回卷積運算，shape取值如下：
- full：為返回完整的卷積，是預設值
- same：為返回部分卷積，其大小與向量a大小相同
- valid：只返回無填充0部分的卷積，此時輸出向量c的最大值為max(length(a) - max(0,length(b) - 1),0).
>> f = [1 4 -2 7 11];
>> g = [9 -11 5 0 8];
>> c = conv(f,g)
c =
9 25 -57 105 20 -54 39 56 88注意：conv函式只能進行兩個多項式的乘法，兩個以上的多項式的乘法需要重複使用conv
- [q,r] = deconv(v,u)：求多項式v, u的除法運算，其中q為返回多項式v除以u的商式，r為返回v除以u的餘式。
>> c = [1 5 15 35 69 100 118 110 72];
>> b = [1 2 3 6 8];
>> [a,r] = deconv(c,b)
a =
1 3 6 8 9
r =
0 0 0 0 0 -2 -5 -8 03.多項式的導數
- k = polyder(p)：求多項式的導函式多項式
- k = polyder(a,b)：求多項式a與多項式b乘積的導函式多項式
- [q,d] = polyder(b,a)：求多項式b與多項式a相除的導函式，導函式的分子存入q，分母存入d
>> a = [3 6 9];
>> b = [1 2 0];
>> k = polyder(a,b)
k =
12 36 42 18
>> K = poly2str(k,'x')
K =
12 x^3 + 36 x^2 + 42 x + 18
>> [q,d] = polyder(b,a)
q =
18 18
d =
9 36 90 108 814.多項式的積分
- polyint(p,k)：返回以向量p為係數的多項式積分，積分的常數項為k
- polyint(p)：返回以向量p為係數多項式的積分，積分的常數項為預設值0
>> p = [1 -1 2];
>> k = 1/2;
>> F = polyint(p,k)
F =
0.3333 -0.5000 2.0000 0.5000
>> df = poly2sym(F)
df =
x^3/3 - x^2/2 + 2*x + 1/25.多項式的估值
matlab提供了polyval函式與polyvalm函式用於求多項式p(x)在x=a的取值。輸入可以是標量或矩陣
- y = polyval(p,x)：p為多項式的係數向量，x為矩陣，它是按陣列運算規則來求多項式的值
- [y,delta] = polyval(p,x,S)：使用可選的結構陣列S產生由polyfit函式輸出的估計引數值；delta是預測未來的觀測估算的誤差標準偏差
- y = polyval(p,x,[],mu)或[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)：使
替代x，
，其中心點與座標值
可由polyfit函式計算得出
polyvalm函式的輸入引數只能是N階方陣，這時可以將多項式看作矩陣函式
- Y = polyvalm(p,X)：p為多項式的係數向量，X為方陣，其實按矩陣運算規則來求多項式的值。
>> X = pascal(4)
X =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
>> p = poly(X)
p =
1.0000 -29.0000 72.0000 -29.0000 1.0000
>> P = poly2str(p,'x')
P =
x^4 - 29 x^3 + 72 x^2 - 29 x + 1
>> y = polyval(p,X)
y =
1.0e+04 *
0.0016 0.0016 0.0016 0.0016
0.0016 0.0015 -0.0140 -0.0563
0.0016 -0.0140 -0.2549 -1.2089
0.0016 -0.0563 -1.2089 -4.3779
>> y = polyvalm(p,X)
y =
1.0e-10 *
-0.0003 -0.0036 -0.0052 -0.0143
-0.0021 -0.0136 -0.0179 -0.0464
-0.0059 -0.0330 -0.0400 -0.1047
-0.0130 -0.0639 -0.0750 -0.19626.有理多項式
matlab中，有理多項式由它們的分子多項式和分母多項式表示。對有理多項式進行運算的兩個函式是residue和polyder。redidue執行部分分式展開的運算
- [r,p,k] = residue(b,a)：b,a分別為分子和分母多項式係數的行向量，r為留數行向量
- [b,a] = residue(r,p,k)：p為極點行向量，k為直項行向量
>> b = [5 3 -2 7];
>> a = [-4 0 8 3];
>> [r,p,k] = residue(b,a)
r =
-1.4167
-0.6653
1.3320
p =
1.5737
-1.1644
-0.4093
k =
-1.2500
>> [b,a] = residue(r,p,k)
b =
-1.2500 -0.7500 0.5000 -1.7500
a =
1.0000 -0.0000 -2.0000 -0.75007.多項式的微分
- k = polyder(p)：p,k分別為原多項式及微分多項式的多項式表示
- k = polyder(a,b)：求多項式a與多項式b乘積的導函式多項式
- [q,b] = polyder(b,a)：求多項式b與多項式a相除的導函式，導函式的分子存入q，分母存入d
>> a = [3 6 9];
>> b = [1 2 0];
>> k = polyder(a,b)
k =
12 36 42 18
>> K = poly2str(k,'x')
K =
12 x^3 + 36 x^2 + 42 x + 18
>> [q,d] = polyder(b,a)
q =
18 18
d =
9 36 90 108 81