1、三角形行列式的值，等於對角線元素的乘積。計算時，一般需要多次運算來把行列式轉換為上三角型或下三角型

2、交換行列式中的兩行（列），行列式變號

3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外

4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不變，常用於消去某些元素

5、若行列式中，兩行（列）完全一樣，則行列式為0；可以推論，如果兩行（列）成比例，行列式為0

6、行列式展開：行列式的值，等於其中某一行（列）的每個元素與其代數餘子式乘積的和；但若是另一行（列）的元素與本行（列）的代數餘子式乘積求和，則其和為0

7、在求解代數餘子式相關問題時，可以對行列式進行值替代，例如，為下面的5階行列式，求解代數餘子式的和A11+A12+A13+A14+A15時，可以將其轉換為求解中間的行列式值的問題；而求解餘子式的和M11+M12+M13+M14+M15，可以將其轉化為最右側行列式求值的問題。

8、克拉默法則：利用線性方程組的係數行列式求解方程，令係數行列式為D，Di為將等式右側的值替換到行列式的第i列，則行列式的i個解為：

9、齊次線性方程組：線上性方程組等式右側的常數項全部為0時，該方程組稱為齊次線性方程組，否則為非齊次線性方程組。齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解。當D=0時，有非零解；當D!=0時，方程組無非零解。

 

 

矩陣運算：

一、矩陣的加法與減法

1、運算規則　　設矩陣

則

兩個矩陣相加減，即它們相同位置的元素相加減！注意：只有對於兩個行數、列數分別相等的矩陣（即同型矩陣），加減法運算才有意義，即加減運算是可行的．　　2、

運算性質（假設運算都是可行的）　　滿足交換律和結合律

　　交換律　

；

　　結合律　

．

二、矩陣與數的乘法

　　1、運算規則數

乘矩陣A，就是將數

乘矩陣A中的每一個元素，記為

或

．　　特別地，稱

稱為

的負矩陣．　　

2、運算性質　　滿足結合律和分配律　　結合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．　　分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例題例6.5.1　已知兩個矩陣

滿足矩陣方程

，求未知矩陣

．解　由已知條件知

三、矩陣與矩陣的乘法

　　1、運算規則　　設

，

，則A與B的乘積

是這樣一個矩陣：　　(1) 行數與（左矩陣）A相同，列數與（右矩陣）B相同，即

．　　(2) C的第

行第

列的元素

由A的第

行元素與B的第

列元素對應相乘，再取乘積之和．典型例題例6.5.2　設矩陣

計算

解

是

的矩陣．設它為

想一想：設列矩陣

，行矩陣

，

和

的行數和列數分別是多少呢

是3×3的矩陣，

是1×1的矩陣，即

只有一個元素．課堂練習　　1、設

，

，求

．　　

2、在第1道練習題中，兩個矩陣相乘的順序是A在左邊，B在右邊，稱為A左乘B或B右乘A．如果交換順序，讓B在左邊，A在右邊，即A右乘B，運算還能進行嗎？請算算試試看．並由此思考：兩個矩陣應當滿足什麼條件，才能夠做乘法運算．　　

3、設列矩陣

，行矩陣

，求

和

，比較兩個計算結果，能得出什麼結論嗎？　　

4、設三階方陣

，三階單位陣為

，試求和，並將計算結果與A比較，看有什麼樣的結論．

解：　　第1題

．　　第2題　　對於

，

．　　求是有意義的，而是無意義的．

 

結論1　只有在下列情況下，兩個矩陣的乘法才有意義，或說乘法運算是可行的：左矩陣的列數＝右矩陣的行數．　　

第3題

是矩陣，是的矩陣．

．

結論2　在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序．即使在與均有意義時，也未必有=成立．可見矩陣乘法不滿足交換律．　　

第4題　　計算得：

．　　

結論3　方陣A和它同階的單位陣作乘積，結果仍為A，即

．　　單位陣在矩陣乘法中的作用相當於數1在我們普通乘法中的作用．典型例題例6.5.3　設

，試計算和

．解

．

結論4　兩個非零矩陣的乘積可以是零矩陣．由此若，不能得出或的結論．

例6.5.4　利用矩陣的乘法，三元線性方程組

可以寫成矩陣的形式

＝

若記係數、未知量和常數項構成的三個矩陣分別為

，

，

，　　則線性方程組又可以簡寫為矩陣方程的形式：

2、運算性質（假設運算都是可行的）　　

(1)　結合律　

(2)　分配律　

（左分配律）；

（右分配律）．　

(3)　

3、方陣的冪定義：設A是方陣，是一個正整數，規定，

顯然，記號表示個A的連乘積．

四、矩陣的轉置

1、定義

定義：將矩陣A的行換成同序號的列所得到的新矩陣稱為矩陣A的轉置矩陣，記作

或

．　　例如，矩陣

的轉置矩陣為

．

　　2、運算性質（假設運算都是可行的）　

　    (1)　

　　(2)　

　　(3)　 

　　(4)　   是常數．

　　2、運算性質（假設運算都是可行的）　

       (1)　

　　(2)　 

　　(3)　 

　　(4)　   ， 是常數．

典型例題 例6.5.5 利用矩陣

驗證運算性質：

解

而

所以

．

定義：如果方陣滿足，即，則稱A為對稱矩陣．

對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應相等．

五、方陣的行列式

1、定義

定義：由方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作

或

2、運算性質　

　(1)

（行列式的性質）　

　(2)

，特別地：

(3)

 

（

是常數，A的階數為n）思考：設A為

階方陣，那麼

的行列式

與A的行列式

之間的關係為什麼不是

，而是

？　　不妨自行設計一個二階方陣，計算一下

和

．　　例如

，則

．　　於是

，而

．思考：設

，有幾種方法可以求

？解 方法一：先求矩陣乘法

，得到一個二階方陣，再求其行列式．　　　　方法二：先分別求行列式

，再取它們的乘積．