多個函式的線性組合的運演算法則：

∀m,n∈N,m,n≥1,[∑i=1mcifi(x)](n)=∑i=1mcif(n)i(x)

證明

n=1 時顯然成立。
設 n 時成立。則 n+1 時：

[∑i=1mcifi(x)](n+1)={[∑i=1mcifi(x)](n)}′ =[∑i=1mcif(n)i(x)]′ =∑i=1mcif(n+1)i(x)

萊布尼茨公式

[f(x)⋅g(x)](n)=∑k=0nCknf(k)(x)g(n−k)(x)

證明

n=1 時顯然成立。
設 n 時成立。則 n+1 時：

[f(x)⋅g(x)](n+1)={[f(x)⋅g(x

)](n)}′ =[∑k=0nCknf(k)(x)g(n−k)(x)]′ =∑k=0nCkn[f(k)(x)g(n−k)(x)]′ =∑k=0nCkn[f(k+1)(x)g(n−k)(x)+f(k)(x)g(n+1−k)(x)] =∑k=0nCk

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