先看簡單點的。求 (5+2*√(6))^n % 1024

第一種構造：
原文：https://blog.csdn.net/xtulollipop/article/details/52382791 
 

第二種：

令

An = (5 + 2√6)^n，Bn = (5 - 2√6)^n

Sn = An + Bn;

顯然Sn是正整數，且Bn是小於1的

所以答案就是Sn - 1！

 (5 + 2√6) + (5 - 2√6) = 10；

 Sn* [(5 + 2√6) + (5 - 2√6)] 

 = ((5 + 2√6)n + (5 - 2√6)n) * [(5 + 2√6) + (5 - 2√6)] 

 = (5 + 2√6)^(n+1) + (5 - 2√6)^(n+1) + (5 + 2√6)^(n-1) + (5 - 2√6)^(n-1)

∴10 * Sn = Sn+1 + Sn-1

   Sn+1 = 10 * Sn - Sn-1

   Sn = 10*Sn-1 - Sn-2;

到這裡我們就可以通過構造矩陣來解決了！

| Sn   |      |10    -1|      | Sn-1|
| Sn-1| =  |1       0 | *  | Sn-2|

然後再看一個更難的：

記An=(a+sqrt(b))^n,Bn=(a-sqrt(b))^n  Cn=An+Bn,很容易知道。。 Cn是整數，

然後由於a b的範圍可以知道Bn在0-1開區間之間，因此Sn=[Cn]%mod，接下來對Cn進行配項。。。

Cn+1=(a+sqrt(b))^n*(a+sqrt(b))+(a-sqrt(b))^n*(a-sqrt(b)),貌似沒啥用，但是要充分利用共軛這個式子。

要想辦法讓（a+sqrt(b)）*(a-sqrt(b))=a*a-b派上用場，然後繼續去把它拿去配項。。。

一開始我拿Cn*(a*a-b)未果，於是用Cn-1*(a*a-b)結合上述的Cn+1就得到了：

Cn+1=(a+sqrt(b))^n*(a+sqrt(b))+(a-sqrt(b))^n*(a-sqrt(b))
Cn-1*(a*a-b)=(a+sqrt(b))^n*(a-sqrt(b))+(a-sqrt(b))^n*(a+sqrt(b))
加減消去根號項得到：Cn+1=2*a*Cn+(b-a*a)*Cn-1，公式化簡完畢，2*2階矩陣可以直接寫了：

|2*a    b-a*a|   | Cn  |  | Cn+1|
|1        0  |*  | Cn-1|= | Cn  |
--------------------- 
作者：田益銘 
原文：https://blog.csdn.net/u012860063/article/details/48862383 
 

然後看這神仙題

，求[y]%M。

根據上面的分析知道是，顯然。

這裡x巨大無比，題解說是迴圈群，找到迴圈節(迴圈節和模數M有關)以後把指數部分模一下迴圈節再矩陣快速冪。

Orz。

至於為什麼是矩陣迴圈群？不如問問神奇的海螺？

不過既然被知道是迴圈群了，那麼生成元是我還是知道的，找的是這個群的迴圈節，也就是找滿足取模情況下

的n。

求到的迴圈節可以儲存下來,暴力求，至於為什麼暴力求，你為什麼不問問神奇的海螺？，應該是t是10^3，M是10^4，不卡常也就過了。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = (1<<8)+5;
const int M = 50000;
typedef long long ll;
#define se second
#define fi first
#define rep(i, n, m) for(int i = (n); i <= (m); i++)

struct Mat {
    ll m[2][2];

    Mat() {
        rep(i, 0, 1) rep(j, 0, 1) m[i][j] = 0;
    }
}I;

Mat Mul(Mat a, Mat b, int mod) 
{
    Mat ans;
    rep(i, 0, 1) rep(j, 0, 1) rep(k, 0, 1) {
        ans.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];
        ans.m[i][j] %= mod;
    }
    return ans;
}

Mat MatPower(Mat a, ll b, ll mod)
{
    Mat ans = I;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = Mul(ans, a, mod);
        a = Mul(a, a, mod);
        b >>= 1; 
    }
    return ans;
}

ll power(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int cir[M], Mod[M], t, x, m;
Mat a, b, ans;

void findmod(ll mod)
{
    if(Mod[mod]) return;
    cir[0] = 2;
    cir[1] = 10;

    for(int  i= 2; ; i++) {
        cir[i] = (cir[i - 1] * 10 - cir[i - 2] + mod) % mod;
        if(cir[i] == cir[1] && cir[i - 1] == cir[0]) {
            Mod[mod] = i - 1;
            break;
        }
    }
    //cir[0] = 
}

int main () {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("data.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif

    I.m[0][0] = I.m[1][1] = 1;
    cin >> t;
    a.m[0][1] = -1;
    a.m[1][0] = 1;
    a.m[1][1] = 0;

    int Case = 1;
    while(t--) {
        cin >> x >> m;
        findmod(m);

        a.m[0][0] = 10 % m;
        b.m[0][0] = 10 % m;
        b.m[1][0] = 2 % m;

        ans = MatPower(a, ((1+power(2, x, Mod[m]))%Mod[m] - 1 + Mod[m])%Mod[m], m);
        ans = Mul(ans, b, m);
        
        printf("Case #%d: %d\n", Case++, (ans.m[0][0] + m - 1) % m);
    }
    
    return 0;
}