【UOJ#340】【清華集訓2017】小 Y 和恐怖的奴隸主（矩陣快速冪，動態規劃）

題面

UOJ
洛谷

題解

考慮如何暴力\(dp\)。
設\(f[i][a][b][c]\)表示當前到了第\(i\)次攻擊，還剩下的\(1,2,3\)血的奴隸主個數為\(a,b,c\)的概率，每次考慮打到了哪裡，做一個轉移。
這樣子，狀態數就是把不超過\(8\)個東西分配到\(3\)個集合中，狀態有\(165\)種，再加一個狀態記錄糊臉上的期望，也就是\(166\)個狀態。
直接矩乘優化，那麼單次的複雜度就是\(O(166^3*log n)\)，顯然過不了。
把\(2^k\)的矩陣預處理出來，每次拿行向量去乘矩陣，優化到\(O(166^2*log n)\)

• 陣列卡著資料範圍開
• 隨時交換迴圈順序
• 手動矩乘

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 998244353
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
inline ll read()
{
    ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int m,K;ll n;
int bh[9][9][9],tot,lim[5];
int inv[20];
int P[61][170][170];
int A[170],tmp[170],Ans[170];
void dfs(int a,int b,int c)
{
    if(a>lim[1]||b>lim[2]||c>lim[3])return;
    if(bh[a][b][c]||a+b+c>K)return;
    bh[a][b][c]=++tot;
    dfs(a+1,b,c);dfs(a,b+1,c);dfs(a,b,c+1);
}
void Plus(int &A,int &B,int &C){if(m==1)++A;if(m==2)++B;if(m==3)++C;}
void pre()
{
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<20;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
    for(int a=0;a<=K&&a<=lim[1];++a)
        for(int b=0;a+b<=K&&b<=lim[2];++b)
            for(int c=0;a+b+c<=K&&c<=lim[3];++c)
            {
                int s=a+b+c+1,p=bh[a][b][c];
                add(P[0][p][tot+1],inv[s]);add(P[0][p][p],inv[s]);
                if(a)P[0][p][bh[a-1][b][c]]=(P[0][p][bh[a-1][b][c]]+1ll*a*inv[s])%MOD;
                if(b)
                {
                    int A=a+1,B=b-1,C=c;if(s<=K)Plus(A,B,C);
                    P[0][p][bh[A][B][C]]=(P[0][p][bh[A][B][C]]+1ll*b*inv[s])%MOD;
                }
                if(c)
                {
                    int A=a,B=b+1,C=c-1;if(s<=K)Plus(A,B,C);
                    P[0][p][bh[A][B][C]]=(P[0][p][bh[A][B][C]]+1ll*c*inv[s])%MOD;
                }
            }
    add(P[0][tot+1][tot+1],1);
    A[bh[m==1][m==2][m==3]]=1;
    for(int p=1;p<=60;++p)
        for(int i=1;i<=tot+1;++i)
            for(int k=1;k<=tot+1;++k)
                for(int j=1;j<=tot+1;++j)
                    P[p][i][j]=(P[p][i][j]+1ll*P[p-1][i][k]*P[p-1][k][j])%MOD;
}
int main()
{
    int T=read();m=read();K=read();
    for(int i=1;i<=m;++i)lim[i]=K;
    dfs(0,0,0);pre();
    while(T--)
    {
        n=read();int p=0;
        for(int i=1;i<=tot+1;++i)Ans[i]=A[i];
        while(n)
        {
            if(n&1)
            {
                for(int i=1;i<=tot+1;++i)tmp[i]=Ans[i],Ans[i]=0;
                for(int k=1;k<=tot+1;++k)
                    for(int j=1;j<=tot+1;++j)
                        Ans[j]=(Ans[j]+1ll*tmp[k]*P[p][k][j])%MOD;
            }
            ++p;n>>=1;
        }
        printf("%d\n",Ans[tot+1]);
    }
    return 0;
}