【期望+矩陣乘法】LOJ2325 [清華集訓 2017] 小 Y 和恐怖的奴隸主
【題目】
原題地址
初始有一個
點生命值的奴隸主，它隨從上限是
，你會進行
次攻擊，求期望
扣多少血，
組資料，每組資料
相等。
爐宗賽高!
【解題思路】
首先發現這個
很大，估計是個矩乘，這個
和
很小，估計是個狀壓，於是思路就確定了。
接下來發現我們只關心剩餘 血的奴隸主各有多少個，我們可以考慮用期望的定義來求。那麼設 表示第 輪時，剩餘 血量的奴隸主分別是 個，那麼這個的答案貢獻就是 。
我們打表可以知道狀態數為 ，加上統計答案的計數器一共只有166種，這樣每組資料暴力做 ，並不能過。觀察到轉移矩陣是一樣的，於是我們預處理出 的矩陣，這樣複雜度就是
算起來還是十分卡卡卡卡常。
【參考程式碼】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10,S=170,mod=998244353;
int T,m,K,tot;
int f[N][N],g[N][N][N];
ll n,ans[S],t[S];
ll read()
{
ll ret=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c)) c=getchar();
while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
return ret;
}
ll qpow(ll x,ll y){ll res=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;return res;}
struct Matrix
{
ll v[S][S];
void clear(){memset(v,0,sizeof(v));}
void one(){for(int i=0;i<S;++i)v[i][i]=1;}
Matrix operator * (const Matrix&a)const
{
Matrix res;res.clear();
for(int i=1;i<=tot;++i) for(int j=1;j<=tot;++j) for(int k=1;k<=tot;++k)
res.v[i][j]=(res.v[i][j]+v[i][k]*a.v[k][j])%mod;
return res;
}
}A[60];
void mul(ll *a,const Matrix&b)
{
memset(t,0,sizeof(t));
for(int i=1;i<=tot;++i) for(int j=1;j<=tot;++j)
t[j]=(t[j]+a[i]*b.v[i][j])%mod;
for(int i=1;i<=tot;++i) a[i]=t[i];
}
void init1(){tot=3;A[0].v[3][1]=A[0].v[3][2]=A[0].v[3][3]=qpow(2,mod-2);}
void init2()
{
for(int i=0;i<=K;++i) for(int j=0;j<=K;++j)
if(i+j<=K) f[i][j]=++tot;
for(int i=0;i<=K;++i) for(int j=0;j<=K;++j) if(i+j<=K)
{
ll inv=qpow(i+j+1,mod-2);
A[0].v[f[i][j]][1]=A[0].v[f[i][j]][f[i][j]]=inv;
if(i) A[0].v[f[i][j]][f[i-1][j]]=inv*i%mod;
if(j)
{
if(i+j<K) A[0].v[f[i][j]][f[i+1][j]]=inv*j%mod;
else A[0].v[f[i][j]][f[i+1][j-1]]=inv*j%mod;
}
}
}
void init3()
{
for(int i=0;i<=K;++i) for(int j=0;j<=K;++j) for(int k=0;k<=K;++k)
if(i+j+k<=K) g[i][j][k]=++tot;
for(int i=0;i<=K;++i) for(int j=0;j<=K;++j) for(int k=0;k<=K;++k) if(i+j+k<=K)
{
ll inv=qpow(i+j+k+1,mod-2);
A[0].v[g[i][j][k]][1]=A[0].v[g[i][j][k]][g[i][j][k]]=inv;
if(i) A[0].v[g[i][j][k]][g[i-1][j][k]]=inv*i%mod;
if(j)
{
if(i+j+k<K) A[0].v[g[i][j][k]][g[i+1][j-1][k+1]]=inv*j%mod;
else A[0].v[g[i][j][k]][g[i+1][j-1][k]]=inv*j%mod;
}
if(k)
{
if(i+j+k<K) A[0].v[g[i][j][k]][g[i][j+1][k]]=inv*k%mod;
else A[0].v[g[i][j][k]][g[i][j+1][k-1]]=inv*k%mod;
}
}
}
void solve()
{
for(int i=1;i<60;++i) A[i]=A[i-1]*A[i-1];
while(T--)
{
n=read();memset(ans,0,sizeof(ans));ans[3]=1;
for(int i=0;i<60;++i) if(n&((ll)1<<i)) mul(ans,A[i]);
printf("%lld\n"
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洛谷P4007 UOJ#340 LOJ#2325
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我，理解題解，用了一天
我，卡常數，又用了一天
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