最小生成樹問題

1. 什麼是最小生成樹

• 是一棵樹
  • 無迴路
  • |V|個頂點一定有 |V|-1 條邊
• 是生成樹
  • 不唯一
  • 包含全部頂點
  • |V|-1 條邊都在圖裡
• 邊的權值和最小

2. 貪心演算法

• 什麼是 “貪”：每一步都是最好的
• 什麼是 “好”：權重最小的邊
• 需要約束：
  • 只能用圖裡有的邊
  • 只能正好用掉 |V|-1 條邊
  • 不能有迴路

1. Prim 演算法

void Prim(){
    MST = {s};  // parent[s] = -1
    while(1){
        V = 未收錄頂點中dist最小者;   // dist[V] = E<V,W> 或 正無窮
 

        if ( 這樣的V不存在 )
            break;
        dist[V] = 0;  // 將V收錄進MST
        for ( V 的每個鄰接點 W )
            if ( dist[W]!= 0)
                if ( E<V,W> < dist[w] ){
                    dist[W] = E<V,W>;
                    parent[W] = V;
                }
    }
    if ( MST 中收的頂點不到|
 
V|個)
        Error ( "圖不連通" );
}

時間複雜度：T = O(|V|$^2$) —— 稀疏圖合算

#include<iostream>
#include<vector>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 並查集 
int dist[MaxVertex]; // 距離 
int Nv;    // 結點 
int Ne;    // 邊 
int sum;  // 權重和 
 

using namespace std; 
vector<Vertex> MST;  // 最小生成樹 

// 初始化圖資訊 
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv>>Ne;
	for(int i=1;i<=Nv;i++){
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
			G[i][j] = 0;  // 初始化圖 
		dist[i] = INF;   // 初始化距離
		parent[i] = -1;  // 初始化並查集 
	}
	// 初始化點
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		G[v1][v2] = w;
		G[v2][v1] = w;
	}
}

// Prim演算法前的初始化 
void IniPrim(Vertex s){
	dist[s] = 0;
	MST.push_back(s);
	for(Vertex i =1;i<=Nv;i++)
		if(G[s][i]){
			dist[i] = G[s][i];
			parent[i] = s;
		} 
}

// 查詢未收錄中dist最小的點 
Vertex FindMin(){
	int min = INF;
	Vertex xb = -1;
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		if(dist[i] && dist[i] < min){ 
			min = dist[i];
			xb = i;
		}
	return xb;
}

void output(){
	cout<<"被收錄順序："<<endl; 
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<MST[i]<<" ";
	cout<<"權重和為："<<sum<<endl; 
	cout<<"該生成樹為："<<endl; 
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<parent[i]<<" ";
}

void Prim(Vertex s){
	IniPrim(s);
	while(1){
		Vertex v = FindMin();
		if(v == -1)
			break;
		sum += dist[v];
		dist[v] = 0;
		MST.push_back(v);
		for(Vertex w=1;w<=Nv;w++)
			if(G[v][w] && dist[w])
				if(G[v][w] < dist[w]){
					dist[w] = G[v][w];
					parent[w] = v;
				}
	}
}


int main(){
	build();
	Prim(1);
	output();
	return 0;
} 

2. Kruskal 演算法

void Kruskal ( Graph G ){
    MST = { };
    while ( MST 中不到|V|-1條邊 &&  E中還有邊 ) {
        從 E 中取一條權重最小的邊 E<V,W>;    // 最小堆
        將 E<V,W> 從 E 中刪除;
        if ( E<V,W> 不在 MST 中構成迴路 )  // 並查集
            將 E<V,W> 加入MST;
        else
            徹底無視 E<V,W>;
    }
    if ( MST 中不到|V|-1條邊 )
        Error("圖不連通");
}

時間複雜度：T = O(|E|log|E|) —— 稀疏圖合算

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex; 
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex];   // 並查集最小生成樹 
int Nv;    // 結點 
int Ne;    // 邊 
int sum;  // 權重和 
using namespace std; 
struct Node{
	Vertex v1;
	Vertex v2;
	int weight; // 權重 
	// 過載運算子成最大堆 
	bool operator < (const Node &a) const
	{
		return weight>a.weight;
	}
};
vector<Node> MST;  // 最小生成樹 
priority_queue<Node> q;   // 最小堆 

// 初始化圖資訊 
void build(){
	Vertex v1,v2;
	int w;
	cin>>Nv>>Ne;
	for(int i=1;i<=Nv;i++){
		for(int j=1;j<=Nv;j++)
			G[i][j] = 0;  // 初始化圖
		parent[i] = -1;
	}
	// 初始化點
	for(int i=0;i<Ne;i++){
		cin>>v1>>v2>>w;
		struct Node tmpE;
		tmpE.v1 = v1;
		tmpE.v2 = v2;
		tmpE.weight = w;
		q.push(tmpE); 
	}
}

//  路徑壓縮查詢 
int Find(int x){
	if(parent[x] < 0)
		return x;
	else
		return parent[x] = Find(parent[x]);
} 

//  按秩歸併 
void Union(int x1,int x2){
    x1 = Find(x1);
    x2 = Find(x2);
	if(parent[x1] < parent[x2]){
		parent[x1] += parent[x2];
		parent[x2] = x1;
	}else{
		parent[x2] += parent[x1];
		parent[x1] = x2;
	}
} 

void Kruskal(){
	// 最小生成樹的邊不到 Nv-1 條且還有邊 
	while(MST.size()!= Nv-1 && !q.empty()){
		Node E = q.top();  // 從最小堆取出一條權重最小的邊
		q.pop(); // 出隊這條邊 
		if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){  // 檢測兩條邊是否在同一集合 
			sum += E.weight; 
			Union(E.v1,E.v2);     // 並起來 
			MST.push_back(E);
		}
	}
	
} 


void output(){
	cout<<"被收錄順序："<<endl; 
	for(Vertex i=0;i<Nv;i++)
		cout<<MST[i].weight<<" ";
	cout<<"權重和為："<<sum<<endl; 
	for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
		cout<<parent[i]<<" ";
	cout<<endl;
}


int main(){
	build();
	Kruskal();
	output();
	return 0;
}