證：把樹看作邊的集合，如果B中有一條A沒有的邊，則把這條邊加到A上，A產生一個圈中至少有一條是B中沒有的邊，把這條邊刪掉，則A仍然是生成樹，A,B集合相同的邊多了一條，重複這個過程直到A B包含的邊相同。

注：這個命題比較容易證，它告訴我們任何兩棵生成樹都可以通過不斷換邊得到。（重要的是換邊的過程中始終保持是樹。）

“可以通過若干次操作”，這個“可以”並沒有“特殊”的含義，也就是說我們可以隨便加一條B有而A沒有的邊，總可以找到一條合適的邊刪掉。

（2） 把一個連通無向圖的生成樹邊按權值遞增排序，稱排好序的邊權列表為有序邊權列表，則任意兩棵最小生成樹的有序邊權列表是相同的。（演算法導論23.1-8）

證：設最小生成樹有n條邊，任意兩棵最小生成樹分別稱為A, B, 如果e是一條邊，用w(e)表示該邊的權值。

A的邊按權值遞增排序後為a₁, a₂,……a_nw(a₁)≤w(a₂)≤……w(a_n)

B的邊按權值遞增排序後為b₁, b₂,……b_nw(b₁)≤w(b₂)≤……w(b_n)

設i是兩個邊列表中，第一次出現不同邊的位置，a_i≠b_i

不妨設w(a_i)≥w(b_i)

情形1 如果樹A中包含邊b_i，則一定有j>i使得 b_i

情形2 樹A中並不包含邊b_i，則把b_i加到樹A上，形成一個圈，由於A是最小生成樹，這個圈裡任意一條邊的權值都不大於w(b_i) ，另外，這個圈裡存在邊a_j不在樹B中。因此，有w(a_j)≤w(b_i)，且j>i (因為a_j不在B中)。於是，有w(b_i)≤w(a_i)≤w(a_j)≤w(b_i)，因此

w(a_i)= w(a_j) = w(b_i)。那麼在樹A中把a_j換成b_i仍然保持它是一棵最小生成樹，並不會影響樹A

注：這個命題說明，如果無向圖的邊權都不相同，則最小生成樹是唯一的。但是其逆命題不成立。即如果無向圖的最小生成樹唯一，則無向圖的邊權是可能有相同的。例子，比如原圖本身就是一棵樹，並且有兩條邊的邊權相等。

（3） A,B是同一個無向連通圖的兩棵不同的最小生成樹，則A可以通過若干次（1）中定義的換邊操作，並且保證每次結果仍然是最小生成樹，最終轉換成B。

證：做法和（2）類似，也是要找一條樹B有但是樹A沒有的邊。事實上（2）的證明過程“情形2”的部分，就已經找到這樣一條邊了。按照（2）中給出的方法，就可以把A轉換成B。

注：上述證明過程證得了和（1）中類似的結論，但是此時的“可以”暫時有“特殊”的含義，至少證明中需要以一定的規則選邊。這顯得有點不“美觀”。那麼，是否可以任意選邊呢？考慮任意選邊造成的“後果”：把任意一條B有而A沒有的邊加入到A，由於A是最小生成樹，所以形成的圈裡所有的邊的權值都不大於新加的邊，那麼如果這個圈裡沒有其他的這種權值的邊，換句話說，如果這個圈裡的這條邊是唯一權值最大的邊怎麼辦呢？或者，如果這個圈裡所有和這條邊權值相等的邊都也在B中，那麼該如何保證換邊後，A和B相同的邊數增多一條呢？下面證明，這些情況不可能出現。

（4） 一個連通無向圖G,不會有一棵最小生成樹包含G的一個圈中全部最大權值的邊。

證：設圖的節點集合是V。反證，假設有一棵最小生成樹T包含G中某個圈的全部權值最大的邊，設其中一條邊是e, 則在樹中刪掉邊e，T-e是不連通的，它把節點分成了兩部分（連通分量），A和B=V-A。在原圖G中，這條邊在一個圈C裡，且在C中權值是最大的。則(C-e)是G中一條路，這條路中有節點在A中，也有節點在B中，因此必然有一條邊e’，它一端在A中，一端在B中,顯然它不在T-e中。於是把e’加入到T-e中，這樣形成的是一棵樹T’。（|V|-1條邊的連通圖顯然是樹），而由於w(e’)，有w(T’)，與T是最小生成樹矛盾。

注：特別地，如果一個圈中權值最大的邊唯一，則最小生成樹不包含這條邊。

（演算法導論上習題23.1-5要證明：如果一條邊是一個圈中權值最大的邊，一定有一棵最小生成樹不包含它。由這個結論可以立刻得出。當圈中最大權值的邊唯一時，演算法導論上這個命題稍弱。）

至此證明了任何兩棵不同的最小生成樹A,B，可以隨意選一條B有而A沒有的邊，新增到A上，由（4）的結論，形成的圈裡，至少有一條邊和這條新加的邊權值相同,並且它不在B中，刪掉它。這樣可以最終把A轉化成B。

（5） 對於一個連通無向圖的生成樹，只考慮它的邊權，形成的有序邊權列表中，最小生成樹是有序邊權列表字典序最小的。（字典序就是通常的定義，兩個序列A,B的字典序相同當且僅當A=B。否則，序列A,B出現最早位置的不相等的元素時，如果序列A的該位置元素更小，則序列A字典序小，反之，則序列B的字典序更小。如果直到一個序列結束都沒有這樣的位置，則較短的序列字典序小）。

證：設A是一棵最小生成樹，而B是不是一棵最小生成樹。利用(2)的結論，因為任何最小生成樹的有序邊權列表是相同的，所以可以用Krusal演算法產生的最小生成樹的有序邊權列表。Krusal演算法的優點是按邊權順序加邊，並且當邊權相等時，只要不形成圈，加哪條邊都可以形成最小生成樹。把B的邊都按遞增順序排序：

B的邊按權值遞增排序後為b₁, b₂,……b_nw(b₁)≤w(b₂)≤……w(b_n)

用Krusal演算法求原圖的一棵最小生成樹，

具體地，加第i條邊時(1≤i≤n),如果對該加的邊e，有w(e)=w(b_i),則選擇b_i代替e加入。不可能出現w(e)>w(b_i),因為Krusal演算法是按邊權由小到大考慮加邊的，如果出現這種情況，說明，選擇b_i加入是不合法的——會形成圈，而此時的圖是樹B的子圖，這與B是樹矛盾。

注：有了（2）的結論，結合Krusal演算法的過程，知道Krusal演算法加邊的順序構成的邊權列表就是一個有序邊權列表。於是，只考慮有序邊權列表時，可以用Krusal演算法產生的特殊的最小生成樹代替任何一棵最小生成樹。

如果一棵樹是最小生成樹，則對它採取一次（1）中的操作，顯然，它的總權值不減。那麼它的逆命題是不是成立？也就是如果說一棵生成樹，對它採取一次（1）中的操作後，它的總權值不減，它是否是最小生成樹？再換句話說，一棵非最小生成樹，是否一定可以找到一條邊進行（1）中的操作後，總權值會減小？這個命題看起來是顯然的，但是是否有可能一棵非最小生成樹當前無論怎樣採取（1）中的操作都會造成總權值暫時的增大，而至少要操作兩次，才能把權值降低呢？答案是不會的。

（6） 一棵樹不是最小生成樹，則一定存在一個（1）中描述的操作，使得操作之後，它的總權值減小。

證：設A不是最小生成樹，A的邊按權值遞增排序後為a₁, a₂,……a_nw(a₁)≤w(a₂)≤……w(a_n)。利用Krusal演算法，加第i條邊時(1≤i≤n),如果對該加的邊e_i，有w(e_i)=w(a_i),則選擇a_i代替e_i加入。直到第j次時(1≤j≤n)，有w(e_j)_j),則仍加入e_j,自此後仍執行普通的Krusal演算法（即任意處理權值相同的邊），這樣生成的最小生成樹E，有w(e_j)_j) 且對所有1≤i有e_i=a_i，由於權值遞增關係，e_j不在A中，那考慮把e_j加入到A中形成的圈，圈裡其他任意的邊a_x,若w(a_x)≤w(e_j)_j),則有x，於是這些邊是在第j步之前和Krusal演算法一樣加入的。因此，圈裡至少有一條邊a_y滿足w(a_y)≥w (a_j)>w(e_j) （y≥j>x）,於是刪除a_y可以讓A的總權值減小。

注：可見確實有這樣的操作。於是立刻得出以下結論：

（7） 一棵生成樹不是最小生成樹，則一定存在（1）中的操作，不斷進行把它轉換成一棵最小生成樹，而且每次操作後權樹的總權值都會減小。

證：由（6）知，存在一個這樣的操作，任選一個這樣的操作，總權值會減小。這樣不斷地進行下去，因為不同的生成樹的個數是有限的，所以總權值不可能一直減小下去，也不可能無限逼近與一個常數，最終可以使其變成一棵最小生成樹。

注：由此可知，這種操作也是“任意”選邊的，並沒有特殊性。如果把一個圖的所有生成樹看作節點，把對每個生成樹進行一次（1）中定義操作看作形成的樹作為它的鄰居。

那麼綜合上述結論：形成的圖是個無向連通圖。任何“區域性最優解”也是“全域性最優解”(只進行一次操作不能減小總權值，則是最小生成樹，可以隨意從任何一個“非最優點”，保持權值減小地逐步達到“最優點“)。

（8） 如果一棵生成樹，任何邊都在某棵最小生成樹上，則它不一定是最小生成樹。

反例：考慮一個長為2，寬為1的矩形。構造一個無向圖，節點就是矩形頂點，邊就是矩形的邊，邊權就是矩形邊長。顯然，原圖有兩棵最小生成樹（“兩寬與一長”），所有邊都在某棵最小生成樹上，但是有兩棵生成樹不是最小生成樹（“兩長與一寬”）。