遞迴求全排列

/*
    本程式是遞迴實現全排列演算法。
    思想是分別讓誰打頭。以1，2，3，4為例，一共只有4位，
    第一位可以分別讓1，2，3，4打頭，以第一位是1為例，
    第二位可以分別讓2，3，4打頭，以第二位是2為例，
    第三位可以分別讓3，4打頭，以第三位是4為例，
    第四位固定是4，輸入此排列。
    其他情況類似輸出。

    去重：以序列1，2，2，3為例，一共四位，一共3個不同的數，
    第一位可以讓1，2，3打頭，以第一位是1為例，
    第二位可以讓2打頭，以第二位為2為例，
    第三位的時候，由於前兩位中已經出現了2，和第三位相同，不能讓2第二次打頭，所以，
    下面的演算法為了去除重複排列，沒有讓1與第三個2交換。

*/
 


#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

//去重複函式
bool is_swap(int a[],int st,int en){
    for(int i=st;i<en;i++){
        if(a[i]==a[en]) return false;
    }
    return true;
}
//全排列演算法
void per(int a[],int st,int en){
    if(st==en){
        for(int i=0;i<en;i++)
            cout
 
<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    else{
        for(int i=st;i<en;i++){
            if(is_swap(a,st,i)){
                swap(a[st],a[i]);
                per(a,st+1,en);
                swap(a[st],a[i]);//注意這裡，解釋一下，比如1，2，3，4的
                //全排列，以1打頭的排列都求出後，重新調整為1，2，3，4，以
 

                //2打頭的排列都求出後，重新調整為1，2，3，4等等，內層遞迴亦如此
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int a[4]={1,2,2,3};
    per(a,0,4);
    return 0;
}

STL中的next_permutation求全排列

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
    int a[4]={1,2,2,3};
    sort(a,a+4);
    do{
        for(int i=0;i<4;i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }while(next_permutation(a,a+4));
    return 0;
}

解答樹

參考劉汝佳《演算法競賽入門經典》（第2版）

以上面遞迴求全排列的演算法為例，下面的樹展示了遞迴的過程。

第0層：（，，，）
第1層：（1，，，）、（2，，，）、（3，，，）、（4，，，）
第2程：
上面1打頭的子結點是（1，2，，）、（1，3，，）、（1，4，，）
上面2打頭的子結點是（2，1，，）、（2，3，，）、（2，4，，）
上面3打頭的子結點是（3，1，，）、（3，2，，）、（3，4，，）
上面4打頭的子結點是（4，1，，）、（4，2，，）、（4，3，，）

……

把上面的畫成樹，就是解答樹。下面求一下解答樹的結點個數：
第一層：n
第二層：n*(n-1)
第三層：n*(n-1)*(n-2)
……
第i層：n*(n-1)(n-2)…*(n-(i-1))=n!/(n-i)!
總的結點數是n!*(1/(n-1)!+1/(n-2)!+…+1/1!+1/0!)，由泰勒展開式可知該式子趨向e*n!，則總結點數小於e*n!，又低第n層和第n-1層的結點數都是n!，最後兩層的結點數目佔據了2*n!，所以，多數情形下，解答樹上的借電腦幾乎全部來源於最後一兩層。

參考劉汝佳《演算法競賽入門經典》（第2版）：
如果某問題的解可以由多個步驟得到，而每個步驟都有若干種選擇（這時候選方案集可能會依賴於先前作出的選擇），且可以用遞迴列舉法實現，則它的工作方式可以用解答樹描述。