最近在看recast&detour原始碼的時候有遇到許多數學上的演算法問題，特此記錄，以便以後檢視。

向量法推導： 

求點P到線段AB的最短距離。分成以下三種情況(a),(b),(c)。

（勘誤：d=PC 應該是在 ∠PAB和∠PBA都小於90°的情況下，而不是▲ABP為銳角▲）

所以可以先根據計算出r的值，進而對應計算A點 B點  C點 和 P點之間的距離即可。

特殊情況：

1.當P線上段AB上：計算出來r仍然是 1>r>0, P點即C點，PC的距離d = 0； 

2.當P線上段AB端點或其延長線上：r仍然有是 r<=0 或者是 r >= 1，仍然是計算 PA 或 PB 的距離；

3.當AB是同一點：

庫中程式碼：

點pt 到線段pq的最短距離。

static float distancePtSeg(const float* pt, const float* p, const float* q)
{
	float pqx = q[0] - p[0];
	float pqy = q[1] - p[1];
	float pqz = q[2] - p[2];
	float dx = pt[0] - p[0];
	float dy = pt[1] - p[1];
	float dz = pt[2] - p[2];
	float d = pqx*pqx + pqy*pqy + pqz*pqz;      // qp線段長度的平方
	float t = pqx*dx + pqy*dy + pqz*dz;         // p pt向量 點積 pq 向量（p相當於A點，q相當於B點，pt相當於P點）
	if (d > 0)         // 除數不能為0; 如果為零 t應該也為零。下面計算結果仍然成立。                   
		t /= d;    // 此時t 相當於 上述推導中的 r。
	if (t < 0)
		t = 0;     // 當t（r）< 0時，最短距離即為 pt點 和 p點（A點和P點）之間的距離。
	else if (t > 1)
		t = 1;     // 當t（r）> 1時，最短距離即為 pt點 和 q點（B點和P點）之間的距離。

	// t = 0，計算 pt點 和 p點的距離; t = 1, 計算 pt點 和 q點 的距離; 否則計算 pt點 和 投影點 的距離。
	dx = p[0] + t*pqx - pt[0];
	dy = p[1] + t*pqy - pt[1];
	dz = p[2] + t*pqz - pt[2];
	return dx*dx + dy*dy + dz*dz;
}
 

演算法優點：

向量法程式碼簡單，計算量少。無需進行復雜的分類討論，無需進行角度計算，無需進行面積計算等。

參考：