二叉樹及二叉樹遍歷

• 完全二叉樹
• 二叉樹的遍歷
• 遍歷的性質

1、完全二叉樹

對於一棵具有n個節點的二叉樹（按層序編號），如果編號為i的節點與同樣深度的滿二叉樹中編號為i的節點在二叉樹的位置完全相同，則為完全二叉樹。

換句話來說，如果每個節點按照滿二叉樹的結構逐層順序進行編號，如果編號出現編號空擋，就說明不是完全二叉樹，否則就是。如下圖所示：

左邊二叉樹按照完全二叉樹進行編號，出現了10號的空擋，右邊二叉樹出現了6,7號的空擋，所以以上兩棵樹都不是完全二叉樹。

2、二叉樹的遍歷

二叉樹的遍歷主要包括前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷和層序遍歷四種，其中前三種是非常常用的，下面主要介紹前三種遍歷的方法。

• 前序遍歷

若二叉樹為空，則空操作返回，否則先訪問根節點，然後前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹。如下圖所示：

void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return;
    printf("%c", T->data);
    PreOrderTraverse(T->lchild);
    PreOrderTraverse(T->rchild);
}

其實前序遍歷的技巧還可以有如下方式：

1、從根節點的左邊開始，繞過所有節點和邊，畫出一條封閉的、有向的遍歷曲線（如上圖紅色所示）。

2、對於每個節點，曲線第一次從連線進入節點的位置標記為1，最後一次從節點出去的位置標記為2 。

3、如上圖的標記所示，沿著遍歷曲線的方向，依次經過標記為1的節點為前序遍歷序列：ABEFIJCDGH 。

• 中序遍歷

若二叉樹為空，則空操作返回，否則從根節點開始（注意不是先訪問根節點），中序遍歷根節點的左子樹，然後是訪問根節點，最後中序遍歷右子樹。如下圖所示：

void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return; 
    InOrderTraverse(T->lchild);
    printf("%c"
 
, T->data);
    InOrderTraverse(T->rchild);
}

同樣根據上一節前序遍歷的技巧，同樣適用於中序遍歷，但是相對複雜一些：

1、對於所有葉子節點，在標記1和2中間加上標記0。

2、當父節點只有左子樹時，在該節點右下方標記0；當父節點只有右子樹時，在該節點的左下方標記0 。

3、當父節點同時有左右子樹時，在其正下方標記0 。

4、沿著遍歷曲線的方向，依次經過標記為0的節點為中序遍歷序列：DGBAECHF 。

• 後序遍歷

若二叉樹為空，則空操作返回，否則從左到右先葉子後節點的方式遍歷訪問左右子樹，最後是訪問根節點。

void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return; 
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    printf("%c", T->data);
}

其實後序遍歷的技巧和前序遍歷的基本是差不多的，有如下方式：

沿著遍歷曲線的方向，依次經過標記為2的節點為後序遍歷序列：EIJFBCGHDA 。

3、遍歷的性質

兩個二叉樹遍歷的性質：
1、已知前序遍歷和中序遍歷，可以唯一的確定一個二叉樹；
2、已知後序遍歷和中序遍歷，可以唯一的確定一個二叉樹；

但是，已知前序遍歷和後序遍歷，是不能唯一的確定一棵二叉樹的。比如，前序遍歷ABC，後續遍歷CBA，我們可以確定A是根節點，但是無法確定那個是左子樹，哪個是右子樹。