B-樹

B-樹是一種多路搜尋樹（並不一定是二叉的）

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一種適用於外查詢的樹，它是一種平衡的多叉樹，稱為B樹（或B-樹、B_樹）。

一棵m階B樹(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜尋樹。它或者是空樹，或者是滿足下列性質的樹：

1、根結點至少有兩個子女；

2、每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；

3、除根結點以外的所有結點（不包括葉子結點）的度數正好是關鍵字總數加1，故內部子樹個數 k 滿足：┌m/2┐ <= k <= m ；

4、所有的葉子結點都位於同一層。

特點：

是一種多路搜尋樹（並不是二叉的）：

1.定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；

2.根結點的兒子數為[2, M]；

3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；

4.每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指標個數-1；

6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

7.非葉子結點的指標：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的

子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

8.所有葉子結點位於同一層；

如：（M=3）

B-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果

命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為

空，或已經是葉子結點；

B-樹的特性：

1.關鍵字集合分佈在整顆樹中；

2.任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；

3.搜尋有可能在非葉子結點結束；

4.其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢；

5.自動層次控制；

B+樹

B+ 樹是一種樹資料結構，是一個n叉樹，每個節點通常有多個孩子，一棵B+樹包含根節點、內部節點和葉子節點。根節點可能是一個葉子節點，也可能是一個包含兩個或兩個以上孩子節點的節點。

用途：

B+ 樹通常用於資料庫和作業系統的檔案系統中。NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS 和BFS等檔案系統都在使用B+樹作為元資料索引。B+ 樹的特點是能夠保持資料穩定有序，其插入與修改擁有較穩定的對數時間複雜度。B+ 樹元素自底向上插入。

B+樹的定義

B+樹是應檔案系統所需而出的一種B-樹的變型樹。一棵m階的B+樹和m階的B-樹的差異在於：

1.有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字，每個關鍵字不儲存資料，只用來索引，所有資料都儲存在葉子節點。

2.所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的資訊，及指向含這些關鍵字記錄的指標，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大順序連結。

3.所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含其子樹（根結點）中的最大（或最小）關鍵字。 
通常在B+樹上有兩個頭指標，一個指向根結點，一個指向關鍵字最小的葉子結點。

B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜尋樹：

1.其定義基本與B-樹同，除了：

2.非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同；

3.非葉子結點的子樹指標P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹

（B-樹是開區間）；

5.為所有葉子結點增加一個鏈指標；

6.所有關鍵字都在葉子結點出現；

如：（M=3）

 
B+的搜尋與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在

非葉子結點命中），其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢；

B+的特性：

1.所有關鍵字都出現在葉子結點的連結串列中（稠密索引），且連結串列中的關鍵字恰好

是有序的；

2.不可能在非葉子結點命中；

3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是儲存

（關鍵字）資料的資料層；

4.更適合檔案索引系統；

B*樹：

是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；

B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3

（代替B+樹的1/2）；

B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的資料

複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；B+樹的分裂隻影響原結點和父

結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標；

B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分

資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字

（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之

間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標；

所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；

小結：

B-樹：

多路搜尋樹，每個結點儲存M/2到M個關鍵字，非葉子結點儲存指向關鍵

字範圍的子結點；

所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；

B+樹：

在B-樹基礎上，為葉子結點增加連結串列指標，所有關鍵字都在葉子結點

中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；

B*樹：

在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加連結串列指標，將結點的最低利用率

從1/2提高到2/3；