B樹和B+樹   
1. B樹的定義:
   1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一種適用於外查詢的樹，它是一種平衡的多叉樹，稱為B樹，其定義如下：
   一棵m階的B樹滿足下列條件：
   ⑴ 樹中每個結點至多有m個孩子；
   ⑵ 除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有m/2個孩子；
   ⑶ 若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子；
   ⑷ 所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字資訊；
   ⑸ 有k個孩子的非終端結點恰好包含有k-1個關鍵字。
   在B樹中，每個結點中關鍵字從小到大排列，並且當該結點的孩子是非葉子結點時，該k-1個關鍵字正好是k個孩子包含的關鍵字的值域的分劃。
   因為葉子結點不包含關鍵字，所以可以把葉子結點看成在樹裡實際上並不存在外部結點，指向這些外部結點的指標為空，葉子結點的數目正好等於樹中所包含的關鍵字總個數加1。
   B樹中的一個包含n個關鍵字，n+1個指標的結點的一般形式為： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）
   其中，Ki為關鍵字，K1<K2<…<Kn, Pi 是指向包括Ki到Ki+1之間的關鍵字的子樹的指標。

2. B樹的查詢:
   在B樹中查詢給定關鍵字的方法是，首先把根結點取來，在根結點所包含的關鍵字K1,…,kj查詢給定的關鍵字（可用順序查詢或二分查詢法），若找到等於給定值的關鍵字，則查詢成功；否則，一定可以確定要查的關鍵字在某個Ki或Ki+1之間，於是取Pi所指的結點繼續查詢，直到找到，或指標Pi為空時查詢失敗。

   查詢演算法演示
   效能分析：

  設B樹包含N個關鍵字，因此有N+1個葉子結點，葉子都在第I層。因為根至少有兩個孩子，因此第二層至少有兩個結點。除根和葉子外，其它結點至少有┌m/2┐個孩子，因此在第三層至少有2*┌m/2┐個結點，在第四層至少有2*┌m/2┐2個結點，．．．，在第I層至少有2*┌m/2┐I-1 個結點，於是有：
   N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-1
   即： I ≥ log┌m/2┐( 
   這個公式保證了B樹的查詢效率是相當高的。 

3. B樹的插入:
  當在葉子結點處於第L+1層的B樹中插入關鍵字時，被插入的關鍵字總是進入第L層的結點。
   若在一個包含j<m-1個關鍵字的結點中插入一個新的關鍵字，則把新的關鍵字直接插入該結點即可；但若把一個新的關鍵字插入到包含m-1（m為B樹的階）個關鍵字的結點中，則將引起結點的分裂。在這種情況下，要把這個結點分裂為兩個，並把中間的一個關鍵字拿出來插到該結點的雙親結點中去，雙親結點也可能是滿的，就需要再分裂、再往上插，從而可能導致B樹可能朝著根的方向生長。
   插入演算法演示 

4. B樹的刪除:
  當從B樹中刪除一個關鍵字Ki時，總的分為以下兩種情況：
   如果該關鍵字所在的結點不是最下層的非葉子結點，則先需要把此關鍵字與它在B樹中後繼對換位置，即以指標Pi所指子樹中的最小關鍵字Y代替Ki，然後在相應的結點中刪除Y。
  如果該關鍵字所在的結點正好是最下層的非葉子結點，這種情況下，會有以下兩種可能：
   ① 若該關鍵字Ki所在結點中的關鍵字個數不小於┌m/2┐，則可以直接從該結點中刪除該關鍵字和相應指標即可。  
   ② 若該關鍵字Ki所在結點中的關鍵字個數小於┌m/2┐，則直接從結點中刪除關鍵字會導致此結點中所含關鍵字個數小於┌m/2┐-1 。這種情況下，需考察該結點在B樹中的左或右兄弟結點，從兄弟結點中移若干個關鍵字到該結點中來（這也涉及它們的雙親結點中的一個關鍵字要作相應變化），使兩個結點中所含關鍵字個數基本相同；但如果其兄弟結點的關鍵字個數也很少，剛好等於┌m/2┐-1 ，這種移動則不能進行，這種情形下，需要把刪除了關鍵字Ki的結點、它的兄弟結點及它們雙親結點中的一個關鍵字合併為一個結點。