★ 數列求和第二步：認清結構，合理選擇恰當的方法

• 法1、公式求和法；等差、等比型別

• 法2、分組求和法

• 法3、並項求和法

• 法4、裂項求和法(難點)

• 法5、錯位相減法(難點)

• 法6、倒序相加法(函式性質的應用)

\(\fbox{例1}\)

求數列的前\(n\)項和\(S_n=1+\cfrac{1}{1+2}+\cfrac{1}{1+2+3}+\cdots+\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)，

分析：必須先能認出其通項公式\(a_n=\cfrac{1}{1+2+3+\cdots+n}\)

從而\(a_n=\cfrac{1}{\cfrac{n(n+1)}{2}}=\cfrac{2}{n(n+1)}=2(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})\)，故有

\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)

\(=2[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots+(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1})]\)

\(=2(1-\cfrac{1}{n+1})=\cfrac{2n}{n+1}\)。

\(\fbox{例2}\)
求\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)

分析：必須先能認出其通項公式\(a_n=\cfrac{2n}{2^n}\)，從而應該和錯位相減法建立關聯，求解見下例5

\(\fbox{例3}\)
求數列的前\(n\)項和\(S_n=1\cfrac{1}{2}+3\cfrac{1}{4}+5\cfrac{1}{8}+7\cfrac{1}{16}+\cdots+[(2n-1)+\cfrac{1}{2^n}]\)

分析：必須先能認出其通項公式\(a_n=(2n-1)+\cfrac{1}{2^n}\)，從而應該和分組求和法建立關聯。

\(S_n=[1+3+5+\cdots+(2n-1)]+[\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cdots+\cfrac{1}{2^n}]\)

\(=\cfrac{1+(2n-1)}{2}\cdot n+\cfrac{\cfrac{1}{2}(1-(\cfrac{1}{2})^n)}{1-\cfrac{1}{2}}\)

\(=n^2+1-\cfrac{1}{2^n}\)。

\(\fbox{例4}\)

已知\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)，

分析：若數列中包含因子\((-1)^n、(-1)^{n-1}\)，一般和並項求和法建立關聯，

如\(S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)，外加針對\(n\)的奇偶討論。

解析：

當\(n\)為偶數時，\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)

\(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[(n-1)-n]\)，

\(=(-1)\times \cfrac{n}{2}\)；

當\(n\)為奇數時，\(S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot n\)

\(=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots+[(n-2)-(n-1)]+n\)，

\(=(-1)\times \cfrac{n-1}{2}+n=\cfrac{n+1}{2}\)；

\(\fbox{例2}\)(錯位相減法的具體求解過程)
求\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)；

分析:首先認清求和的數列的通項公式\(a_n=n\cdot2^n\)，是個差比數列，其中等比數列的公比為\(2\)，

下來按部就班的使用“錯位相減法”求和就成了。解如下：

\(S_n=1\cdot2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\) (1)

\(2S_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot 2^{n+1}\) (2)

具體的錯位方法如下圖說明：

(1)-(2)得到：

\(-S_n=1\cdot2+1\cdot2^2+1\cdot2^3+\cdots+1\cdot2^n-n\cdot2^{n+1}\) \(\hspace{4cm}\) (3)

再次整理為

\(-S_n=\cfrac{2\cdot(1-2^n)}{1-2}-n\cdot2^{n+1}\) \(\hspace{4cm}\) (4)

最後整理為

\(S_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\)

\(\fbox{例3}\)(倒序相加法)(函式性質的應用)

已知函式\(f(x)=\cfrac{x^2}{1+x^2}\)，求\(f(4)+f(3)+f(2)+f(1)+f(0)+f(\cfrac{1}{2})+f(\cfrac{1}{3})+f(\cfrac{1}{4})\)，

你應該能聯想到\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=m\)(m為某一個確定的值，可以自己計算得到)，從而聯想到倒序相加求和法。

分析：\(f(x)+f(\cfrac{1}{x})=\cfrac{x^2}{1+x^2}+\cfrac{(\frac{1}{x})^2}{1+(\frac{1}{x})^2}=1\)，

故原式\(=[f(4)+f(\cfrac{1}{4})]+[f(3)+f(\cfrac{1}{3})]+[f(2)+f(\cfrac{1}{2})]+f(1)+f(0)=\cfrac{7}{2}\)。

\(\fbox{例4}\)(倒序相加法)(函式性質的應用)

定義在R上的函式滿足\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{1}{2}-x)=2\)【或者已知函式\(f(x)=\sqrt[3]{x-\frac{1}{2}}+1\)】，

求值\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})\)=7．

\(\fbox{例5}\)(倒序相加法)(函式性質的應用)

求值：\(sin^21^{\circ}+sin^22^{\circ}+sin^23^{\circ}+\cdots+sin^288^{\circ}+sin^289^{\circ}=\)

分析：\(sin^21^{\circ}+sin^289^{\circ}=1\)，\(sin^22^{\circ}+sin^288^{\circ}=1\)，\(\cdots\)，\(sin^244^{\circ}+sin^246^{\circ}=1\)，\(sin^245^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，

故原式=\(44+\cfrac{1}{2}=44.5\)。