轉自：http://www.tuicool.com/articles/fYz6jy

本文主要介紹各種B樹，不對插入、刪除做過多的深入瞭解。

1. 引子

動態查詢樹主要有：

二叉查詢樹（Binary Search Tree） 平衡二叉查詢樹（Balanced Binary Search Tree） B-tree B+-tree B*-tree  前三者是典型的二叉查詢樹結構，其查詢的 時間複雜度O(log2N)與樹的深度相關，那麼降低樹的深度自然會提高查詢效率 。 但是我們要面對這樣一個實際問題，大規模資料儲存中，實現索引查詢是在這樣一個實際背景下的，即樹節點儲存的元素數量是有限的（如果元素數量非常多的話，查詢就退化成節點內部的線性查找了），這樣 導致二叉查詢樹結構由於樹的深度過大而造成磁碟I/O讀寫過於頻繁，進而導致查詢效率低下，那麼如何減少樹的深度，一個基本的想法就是：採用多叉樹結構。 這樣我們就提出了一個新的查詢樹結構——多路查詢樹。根據平衡二叉樹的啟發，自然就想到平衡多路查詢樹結構，也就是這篇文章所要闡述的第一個主題B-tree（B-tree樹即B樹， B即Balanced ，平衡的意思）。 在開始介紹B-tree之前，先了解下相關的硬體知識，才能很好的瞭解為什麼需要B-tree這種外存資料結構。 

2.外儲存器—磁碟

計算機儲存裝置一般分為兩種：記憶體儲器(main memory)和外儲存器(external memory)。  記憶體存取速度快，但容量小，價格昂貴，而且不能長期儲存資料(在不通電情況下資料會消失)。 外儲存器，一般指磁碟，是一種直接存取的儲存裝置，容量大、資料可以持久儲存。

2.1 磁碟的構造

磁碟是一個扁平的圓盤(與電唱機的唱片類似)。盤面上有許多稱為磁軌的圓圈，資料就記錄在這些磁軌上。磁碟可以是單片的，也可以是由若干碟片組成的盤組，每一碟片上有兩個面。如下圖中所示的6片盤組為例，除去最頂端和最底端的外側面不儲存資料之外，一共有10個面可以用來儲存資訊。                                                                                         
當磁碟驅動器執行讀/寫功能時。碟片裝在一個主軸上，並繞主軸高速旋轉，當磁軌在讀/寫頭(又叫磁頭) 下通過時，就可以進行資料的讀 / 寫了。 一般磁碟分為固定頭盤(磁頭固定)和活動頭盤。 固定頭盤的每一個磁軌上都有獨立的磁頭，它是固定不動的，專門負責這一磁軌上資料的讀/寫。 活動頭盤 (如上圖)的磁頭是可移動的。每一個盤面上只有一個磁頭(磁頭是雙向的，因此正反盤面都能讀寫)。它可以從該面的一個磁軌移動到另一個磁軌。 所有磁頭都裝在同一個動臂上，因此不同盤面上的所有磁頭都是同時移動的(行動整齊劃一)。當碟片繞主軸旋轉的時候，磁頭與旋轉的碟片形成一個圓柱體。各個盤面上半徑相同的磁軌組成了一個圓柱面，我們稱為柱面 。因此，柱面的個數也就是盤面上的磁軌數。 

2.2 磁碟的讀/寫原理和效率

磁碟上資料必須用一個三維地址唯一標示：柱面號、盤面號、塊號(磁軌上的盤塊)。 讀/寫磁碟上某一指定資料需要下面3個步驟： (1) 首先移動臂根據柱面號使磁頭移動到所需要的柱面上，這一過程被稱為定位或查詢 。 (2) 如上圖中所示的6盤組示意圖中，所有磁頭都定位到了10個盤面的10條磁軌上(磁頭都是雙向的)。這時根據盤面號來確定指定盤面上的磁軌。 (3) 盤面確定以後，碟片開始旋轉，將指定塊號的磁軌段移動至磁頭下。 經過上面三個步驟，指定資料的儲存位置就被找到。這時就可以開始讀/寫操作了。 訪問某一具體資訊，由3部分時間組成： ● 查詢時間(seek time) Ts: 完成上述步驟(1)所需要的時間。這部分時間代價最高，最大可達到0.1s左右，一般可以在10ms左右。 ● 等待時間(latency time) Tl: 完成上述步驟(3)所需要的時間。由於碟片繞主軸旋轉速度很快，一般為7200轉/分。因此一般旋轉一圈大約8ms左右。 ● 傳輸時間(transmission time) Tt: 資料通過系統匯流排傳送到記憶體的時間，一般傳輸一個位元組(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s 磁碟讀取資料是以盤塊(block)為基本單位的。位於同一盤塊中的所有資料都能被一次性全部讀取出來。而磁碟IO代價主要花費在查詢時間上。因此我們應該儘量將相關資訊存放在同一盤塊，同一磁軌中。或者至少放在同一柱面或相鄰柱面上，以求在讀/寫資訊時儘量減少磁頭來回移動的次數，避免過多的查詢時間。 所以，在大規模資料儲存方面，大量資料儲存在外存磁碟中，而在外存磁碟中讀取/寫入塊(block)中某資料時，首先需要定位到磁碟中的某塊，如何有效地查詢磁碟中的資料， 儘量減少隨機IO ，需要一種合理高效的外存資料結構，就是下面所要重點闡述的B-tree結構，以及相關的變種結構：B+-tree結構和B*-tree結構。

3.B樹  

3.1 定義

B樹又叫平衡多路查詢樹。B樹是為了磁碟或其它儲存裝置而設計的一種多叉（下面你會看到，相對於二叉，B樹每個內結點有多個分支，即多叉）平衡查詢樹。與紅黑樹很相似，但在降低磁碟I/0操作方面要更好一些。 許多資料庫系統都一般使用B樹或者B樹的各種變形結構，如下文即將要介紹的B+樹，B*樹來儲存資訊。                                       

3.2 特點

B樹與紅黑樹最大的不同在於，B樹的結點可以有許多子女，從幾個到幾千個。那為什麼又說B樹與紅黑樹很相似呢?因為與紅黑樹一樣，一棵含n個結點的 B樹的高度也為O（lgn） ，但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，應為它的分支因子比較大。所以， B樹可以在O（logn）時間內，實現各種如插入（insert），刪除（delete）等動態集合操作。 在B樹中，一個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那麼x將含有n[x]+1個子女，例如下圖，如含有2個關鍵字D H的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字Q T X的內結點有4個子女。 一棵m階的B樹 (m叉樹)的特性如下： 1）樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）； 2）除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函式）； 3）若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）； 4）所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字資訊(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指標都為null) 5）每個非終端結點中包含有n個關鍵字資訊： (n，P0，K1，P1，K2，P2，……，Kn，Pn)。其中：        a)   Ki (i=1…n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。         b)   Pi為指向子樹根的接點，且指標P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。         c)   關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。 針對上面第5點，再闡述下：B樹中每一個結點能包含的關鍵字（如之前上面的D H和Q T X）數有一個上界和下界。這個下界可以用一個稱作B樹的最小度數（演算法導論中文版上譯作度數，最小度數即內節點中節點最小孩子數目）t（t>=2）表示。 每個非根的結點必須至少含有t-1個關鍵字。每個非根的內結點至少有t個子女。如果樹是非空的，則根結點至少包含一個關鍵字； 每個結點可包含之多2t-1個關鍵字。所以一個內結點至多可有2t個子女。如果一個結點恰好有2t-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（而稍後介紹的B*樹作為B樹的一種常用變形， B*樹中要求每個內結點至少為2/3滿，而不是像這裡的B樹所要求的至少半滿）； B樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字資訊和分支(當然是不能超過磁碟塊的大小，根據磁碟驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在1k~4k左右)；這樣樹的深度降低了，這就意味著查詢一個元素只要很少結點從外存磁碟中讀入記憶體，很快訪問到要查詢的資料。

3.3 查詢舉例

假如每個盤塊可以正好存放一個B樹的結點（正好存放2個檔名）。那麼一個BTNODE結點就代表一個盤塊，而子樹指標就是存放另外一個盤塊的地址。 下面，咱們來模擬下查詢檔案29的過程： 1 根據根結點指標找到檔案目錄的根磁碟塊1，將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 1次】     2 此時記憶體中有兩個檔名17、35和三個儲存其他磁碟頁面地址的資料。根據演算法我們發現17<29<35，因此我們找到指標p2。 3 根據p2指標，我們定位到磁碟塊3，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 2次】     4 此時記憶體中有兩個檔名26，30和三個儲存其他磁碟頁面地址的資料。根據演算法我們發,26<29<30，因此我們找到指標p2。 5 根據p2指標，我們定位到磁碟塊8，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 3次】     6 此時記憶體中有兩個檔名28，29。根據演算法我們查詢到文,29，並定位了該檔案記憶體的磁碟地址。 分析上面的過程，發現需要3次磁碟IO操作和3次記憶體查詢操作。關於記憶體中的檔名查詢，由於是一個有序表結構，可以利用折半查詢提高效率。至於IO操作時影響整個B樹查詢效率的決定因素。 當然，如果我們使用平衡二叉樹的磁碟儲存結構來進行查詢，磁碟4次，最多5次，而且檔案越多，B樹比平衡二叉樹所用的磁碟IO操作次數將越少，效率也越高。

4. B+樹

4.1 定義

B+-tree：是應檔案系統所需而產生的一種B-tree的變形樹。 一棵m階的B+樹和m階的B樹的差異在於：       1.有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字； (而B樹是n棵子樹有n-1個關鍵字)       2.所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的資訊，及指向含有這些關鍵字記錄的指標，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序連結。 (而B 樹的葉子節點並沒有包括全部需要查詢的資訊)       3. 所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。 (而B樹的非終節點也包含需要查詢的有效資訊)  

4.2 特點

B+-tree比B樹更適合實際應用中作業系統的檔案索引和資料庫索引，原因有如下幾點： 1) B+-tree的磁碟讀寫代價更低 B+-tree的內部結點並沒有指向關鍵字具體資訊的指標。因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入記憶體中的需要查詢的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數也就降低了。 2) B+-tree的查詢效率更加穩定 由於非終結點並不是最終指向檔案內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查詢必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。

4.3 B+樹的分裂

當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標。

5.B*-tree

B*-tree是B+-tree的變體，在B+ 樹非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）。給出了一個簡單例項，如下圖所示： B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標。 所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；