BST樹

即二叉搜尋樹：

       1.所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；

       2.所有結點儲存一個關鍵字；

       3.非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹，右指標指向大於其關鍵字的子樹；

如：

       BST樹的搜尋，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中；

否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入

右兒子；如果左兒子或右兒子的指標為空，則報告找不到相應的關鍵字；

如果BST樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那麼B樹

的搜尋效能逼近二分查詢；但它比連續記憶體空間的二分查詢的優點是，改變

（插入與刪除結點）不需要移動大段的記憶體資料，甚至通常是常數開銷；

如：

但BST樹在經過多次插入與刪除後，有可能導致不同的結構：

   右邊也是一個BST樹，但它的搜尋效能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的

樹結構索引；所以，使用BST樹還要考慮儘可能讓BST樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就

是所謂的“平衡”問題；      

AVL平衡二叉搜尋樹
定義：平衡二叉樹或為空樹,或為如下性質的二叉排序樹:
  （1）左右子樹深度之差的絕對值不超過1;
  （2）左右子樹仍然為平衡二叉樹.
平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.
平衡二叉樹每個結點的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。
如圖所示為平衡樹和非平衡樹示意圖：

RBT 紅黑樹

AVL是嚴格平衡樹，因此在增加或者刪除節點的時候，根據不同情況，旋轉的次數比紅黑樹要多；
紅黑是弱平衡的，用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的降低；
所以簡單說，搜尋的次數遠遠大於插入和刪除，那麼選擇AVL樹，如果搜尋，插入刪除次數幾乎差不多，應該選擇RB樹。

紅黑樹上每個結點內含五個域，color，key，left，right，p。如果相應的指標域沒有，則設為NIL。
一般的，紅黑樹，滿足以下性質，即只有滿足以下全部性質的樹，我們才稱之為紅黑樹：
1）每個結點要麼是紅的，要麼是黑的。
2）根結點是黑的。
3）每個葉結點，即空結點（NIL）是黑的。
4）如果一個結點是紅的，那麼它的倆個兒子都是黑的。
5）對每個結點，從該結點到其子孫結點的所有路徑上包含相同數目的黑結點。
下圖所示，即是一顆紅黑樹：

B-樹

是一種平衡多路搜尋樹（並不是二叉的）：

       1.定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；

       2.根結點的兒子數為[2, M]；

       3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；

       4.每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

       5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指標個數-1；

       6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非葉子結點的指標：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的

子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

       8.所有葉子結點位於同一層；

如：（M=3）

       B-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果

命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為

空，或已經是葉子結點；

B-樹的特性：

       1.關鍵字集合分佈在整顆樹中；

       2.任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；

       3.搜尋有可能在非葉子結點結束；

       4.其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢；

       5.自動層次控制；

由於限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保了結點的至少

利用率，其最底搜尋效能為：

其中，M為設定的非葉子結點最多子樹個數，N為關鍵字總數；

所以B-樹的效能總是等價於二分查詢（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；

由於M/2的限制，在插入結點時，如果結點已滿，需要將結點分裂為兩個各佔

M/2的結點；刪除結點時，需將兩個不足M/2的兄弟結點合併；

B+樹

       B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜尋樹：

       1.其定義基本與B-樹同，除了：

       2.非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同；

       3.非葉子結點的子樹指標P[i]，指向關鍵字值屬於[K[i], K[i+1])的子樹

（B-樹是開區間）；

       5.為所有葉子結點增加一個鏈指標；

       6.所有關鍵字都在葉子結點出現；

如：（M=3）

B+的搜尋與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B-樹可以在

非葉子結點命中），其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢；

       B+的特性：

       1.所有關鍵字都出現在葉子結點的連結串列中（稠密索引），且連結串列中的關鍵字恰好

是有序的；

       2.不可能在非葉子結點命中；

       3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是儲存

（關鍵字）資料的資料層；

       4.更適合檔案索引系統；比如對已經建立索引的資料庫記錄，查詢10<=id<=20，那麼只要通過根節點搜尋到id=10的葉節點，之後只要根據葉節點的連結串列找到第一個大於20的就行了，比B-樹在查詢10到20內的每一個時每次都從根節點出發查詢提高了不少效率。

B*樹

是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；

B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3

（代替B+樹的1/2）；

       B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的資料

複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；B+樹的分裂隻影響原結點和父

結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標；

       B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分

資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字

（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之

間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標；

所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；

小結

       B樹：二叉樹，每個結點只儲存一個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於

走右結點；

       B-樹：多路搜尋樹，每個結點儲存M/2到M個關鍵字，非葉子結點儲存指向關鍵

字範圍的子結點；

所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；

       B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加連結串列指標，所有關鍵字都在葉子結點

中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；

       B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加連結串列指標，將結點的最低利用率

從1/2提高到2/3；

B+/B*Tree應用

資料庫索引--索引檔案和資料檔案是分離的，索引檔案僅儲存資料記錄的地址。

資料庫索引--表資料檔案本身就是按B+Tree組織的一個索引結構，這棵樹的葉節點data域儲存了完整的資料記錄。這個索引的key是資料表的主鍵。

倒排索引--也可以由B樹及其變種實現但不一定非要B樹及其變種實現，如lucene沒有使用B樹結構，因此lucene可以用二分搜尋演算法快速定位關鍵詞。實現時，lucene將下面三列分別作為詞典檔案（Term Dictionary）、頻率檔案(frequencies)、位置檔案 (positions)儲存。其中詞典檔案不僅儲存有每個關鍵詞，還保留了指向頻率檔案和位置檔案的指標，通過指標可以找到該關鍵字的頻率資訊和位置資訊。 　　

關鍵詞            文章號[出現頻率]              出現位置 　　
guangzhou           1[2]                      3，6 　　
he                  2[1]                      1 　　
i                   1[1]                      4 　　
live                1[2]                      2，5, 
                    2[1]                      2 　　
shanghai            2[1]                      3 　　
tom                 1[1]                      1

http://blog.csdn.net/hguisu/article/details/7786014

B樹、B-樹、B+樹、B*樹 http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html