題目：用牛頓法求方程x-cos(x)=0的實根（精確到1E-6）。

（1）要求用函式呼叫。

（2）進一步研究和絃截法作比較。

演算法分析：

（1）       此題是利用牛頓方法解一元非線性方程的根。（牛頓法是把非線性方程區域性線性化的一種方法，它在單根附近具有較高的收斂速度。）所以首先我們應先給出估計的根，先對方程x-cos(x)=0變形，令y1=x,y2=cos(x),則兩函式圖象的交點，就是方程x-cos(x)=0的根，這裡利用Matlab作圖估計根的值。

在Matlab命令列中輸入，並執行：

>>x=-2:0.01:2;

>>y1=cos(x);

>>y2=x;

>>plot(x,y1,x,y2);

>>grid on;

可得下圖：

從圖中可以很容易得到根x的初值可選0.6。

Matlab程式碼如下：

（1）funNewton.m函式檔案為：

%此檔案為被調函式檔案。
function[y,dirv_y]=funNewton(x)
%y與dirv_y為函式返回的引數，x為呼叫時的傳遞引數。
         y=x-cos(x);
         dirv_y=1+sin(x);
         %dirv_y為y的一階導函式
 

（2）Newton.m指令碼檔案為：

clear all
%清除所有變數
Error=1e-6;
%根所要求的誤差精度
formatlong
%格式化此行一下的變數。
x=0.6;
fork=1:20
%迭代次數20次
   [y,dirv_y]=funNewton(x);
   %呼叫函式檔案
   xk=x;
%xk可保留前一次x的值。
   x=x-y/dirv_y;
   %牛頓法的核心，即此迭代公式。
   if(abs(xk-x)<=Error)
%判斷當此x的值與前一次x的值即xk的差值，即誤差是否小於題目給定的誤差。
    break;
   end
end
x
%輸出根x的值。
 

在Matlab的命令列中輸入（因為我的程式檔案儲存為：Newton.m指令碼檔案，funNewton.m函式檔案）：

>>Newton

x=0.739085133215161

結果分析：

在Matlab的命令列中輸入：

>>format long

>>fzero('x-cos(x)',0)

ans=0.739085133215161

經比較可知：牛頓法的結果有一定的誤差，但是牛頓方法由於在單根附近有良好的收斂性，所以與其他方法得出的結果相比誤差較小。但是牛頓方法有個缺點：它只在根附近區域性收斂。所以所我們在給定X的初值時尤為重要，如果給的初值離真值過遠。那麼用牛頓法可能永遠也找不到此方程的解。對於這種情況，我們可以先利用工具軟體（如：Matlab）畫出草圖，確定根的大致位置。牛頓法的每一步迭代都要計算一次導數值，而在計算機中，計算一次導數的近似值比計算函式值要麻煩的多。所以我們可以用弦截法，其迭代公式為：x2=x1-((x1-x0)/f(x1)-f(x0))*f(x1).

當f(x)在x*的某一個鄰域內具有二階連續導數，且f’(x)!=0,初值x0,x1落在此鄰域內，弦截

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