手動部落格搬家: 本文發表於20171216 13:34:20, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/78819470

URL: (Luogu)https://www.luogu.org/problem/show?pid=3455
(BZOJ)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

題目大意:
有t次詢問(\(t\le5e4\)), 每次給定a,b,d, 詢問有多少對(x,y)滿足x<=a, y<=b, gcd(a,b)=d. 0<=d<=a,b<=5e4

思路分析:
首先，需要注意的是，要特殊處理\(d=0\)

的情況，答案為0.
對於\(d\ge1\), 採用莫比烏斯反演解決:
先將a/=d, b/=d, 因此只需求gcd(x,y)=1的數的對數。
令F[i]表示\(1\le x\le a,1\le y\le b\)且\(i|gcd(x,y)\)的a,b總數, f[i]表示gcd(x,y)=i的數的對數(此處a,b都已經除以d).因此問題轉化為求f(1).
根據莫比烏斯反演公式:\[F(n)=\sum_{n|x} f(x), f(n)=\sum_{n|x} F(x)\mu(\frac{x}{n})\]
因此，\(f(1)=\sum_{1|x} F(x)\mu(x)\)
而顯然我們有\(F(x)=[\frac{a}{x}][\frac{b}{x}]\), 因此可以\(O(1)\)地求出F(x), 也就可以\(O(min(a,b))\)地求出f(1)了。(莫比烏斯反演函式\(\mu(x)\)可線上性篩中求出)
可是這樣還不夠。算算複雜度，發現會TLE.
注意到一個性質: 對於\(x\le\sqrt{a}\), \([\frac{a}{x}]\)的值變化得很快,\([\frac{a}{x}]\)的變化速度遠高於\(x\)的變化速度。而對於\(x\gt\sqrt{a}\), \([\frac{a}{x}]\)的值變化得很慢, 遠低於\(x\)的變化速度。因此，我們可以求出所有使得\([\frac{a}{x}]\)的值變化的點x， 共有\(O(\sqrt{n})\)個(實際上帶一個常數2), 然後我們對b做同樣的操作。將所有影響\([\frac{a}{x}]\)和\([\frac{b}{x}]\)的值的點都從小到大排序記錄下來，處理莫比烏斯函式的字首和, 每一個點代表一個區間，這個區間內所有的數\([\frac{a}{x}]\)與\([\frac{b}{x}]\)的值分別與這個數\([\frac{a}{x}]\)和\([\frac{b}{x}]\)相等。然後這一段區間對答案的貢獻就是區間的\(\mu()\)之和乘以\([\frac{a}{x}][\frac{b}{x}]\).

程式碼實現

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N = 5e4;
const int NN = 317;
int p[N+2];
bool f[N+2];
int mu[N+2];
int s[N+2];
int g[(NN<<2)+2];
int h[(NN<<2)+2];
int a,b,d,m;

void Mobius()
{
    f[1] = true; mu[1] = 1; m = 0;
    for(int i=2; i<=N; i++)
    {
        if(!f[i]) {p[++m] = i; mu[i] = -1;}
        for(int j=1; p[j]*i<=N; j++)
        {
            f[p[j]*i] = true;
            if(i%p[j]==0)
            {
                mu[i*p[j]] = 0;
                break;
            }
            else mu[i*p[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

void merge(int aa,int bb)
{
    int i = 1,j = (aa<<1)+1,k = 1;
    while(i<=(aa<<1) && j<=(aa<<1)+(bb<<1))
    {
        if(h[i]<h[j]) g[k++] = h[i++];
        else g[k++] = h[j++];
    }
    while(i<=(aa<<1)) g[k++] = h[i++];
    while(j<=(aa<<1)+(bb<<1)) g[k++] = h[j++];
}

int main()
{
    int t; scanf("%d",&t);
    Mobius(); s[0] = 0;
    for(int i=1; i<=N; i++) s[i] = s[i-1]+mu[i];
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
        if(d==0) {printf("0\n"); continue;}
        if(a>b) swap(a,b);
        a /= d; b /= d;
        int aa = (int)sqrt(a),bb = (int)sqrt(b);
        long long ans = 0ll;
        for(int i=1; i<=aa; i++) h[i] = i;
        for(int i=aa; i>=1; i--) h[(aa<<1)-i+1] = a/i;
 //保證h[]在1~(aa<<1)範圍內有序
        for(int i=1; i<=bb; i++) h[i+(aa<<1)] = i;
        for(int i=bb; i>=1; i--) h[(aa<<1)+(bb<<1)-i+1] = b/i;
 //保證h[]在1~(bb<<1)範圍內有序
        merge(aa,bb);
 //將[1,aa<<1]與[aa<<1+1,aa<<1+bb<<1]歸併起來
        for(int i=1; i<=(aa<<1)+(bb<<1); i++)
        {
            ans += (long long)(s[g[i]]-s[g[i-1]])*(a/g[i])*(b/g[i]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}