Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

這道題實際上是 Catalan Number卡塔蘭數的一個例子，如果對卡塔蘭數不熟悉的童鞋可能真不太好做。話說其實我也是今天才知道的好嘛-.-|||，為啥我以前都不知道捏？！為啥卡塔蘭數不像斐波那契數那樣人盡皆知呢，是我太孤陋寡聞麼？！不過今天知道也不晚，不斷的學習新的東西，這才是刷題的意義所在嘛! 好了，廢話不多說了，趕緊回到題目上來吧。我們先來看當 n = 1的情況，只能形成唯一的一棵二叉搜尋樹，n分別為1,2,3的情況如下所示：

                    1                        n = 1

                2
 
        1                   n = 2
               /          \
              1            2
  
   1         3     3      2      1           n = 3
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

就跟斐波那契數列一樣，我們把n = 0 時賦為1，因為空樹也算一種二叉搜尋樹，那麼n = 1時的情況可以看做是其左子樹個數乘以右子樹的個數，左右字數都是空樹，所以1乘1還是1。那麼n = 2時，由於1和2都可以為跟，分別算出來，再把它們加起來即可。n = 2的情況可由下面式子算出：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1為根的情況)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2為根的情況)

同理可寫出 n = 3 的計算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1為根的情況)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2為根的情況)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3為根的情況)

由此可以得出卡塔蘭數列的遞推式為：

我們根據以上的分析，可以寫出程式碼如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};