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1.如何理解棧

關於“棧”，有一個非常貼切的例子，就是一摞疊在一起的盤子。我們平時放盤子的時候，都是從下往上一個一個放；取的時候，我們也是從上往下一個一個地依次取，不能從中間任意抽出。後進先出，先進後出，這就是典型的“棧”結構。

從棧的操作特性上來看，棧是一種“操作受限”的線性表，只允許在一端插入和刪除資料。

相比陣列和連結串列，棧帶給我的只有限制，並沒有任何優勢。那我直接使用陣列或者連結串列不就好了嗎？為什麼還要用這個“操作受限”的“棧”呢？

事實上，從功能上來說，陣列或連結串列確實可以替代棧，但你要知道，特定的資料結構是對特定場景的抽象，而且，陣列或連結串列暴露了太多的操作介面，操作上的確靈活自由，但使用時就比較不可控，自然也就更容易出錯

當某個資料集合只涉及在一端插入和刪除資料，並且滿足後進先出、先進後出的特性，我們就應該首選“棧”這種資料結構。

2如何實現一個棧

棧主要包含兩個操作，入棧和出棧，也就是在棧頂插入一個數據和從棧頂刪除一個數據。理解了棧的定義之後，我們來看一看如何用程式碼實現一個棧。

棧既可以用陣列來實現，也可以用連結串列來實現。用陣列實現的棧，我們叫作順序棧，用連結串列實現的棧，我們叫作鏈式棧。

我這裡實現一個基於陣列的順序棧。

// 基於陣列實現的順序棧
public class ArrayStack {
  private String[] items;  // 陣列
  private int count;       // 棧中元素個數
  private int n;           // 棧的大小

  // 初始化陣列，申請一個大小為 n 的陣列空間
  public ArrayStack(int n) {
    this.items = new String[n];
    this.n = n;
    this.count = 0;
  }

  // 入棧操作
  public boolean push(String item) {
    // 陣列空間不夠了，直接返回 false，入棧失敗。
    if (count == n) return false;
    // 將 item 放到下標為 count 的位置，並且 count 加一
    items[count] = item;
    ++count;
    return true;
  }
  
  // 出棧操作
  public String pop() {
    // 棧為空，則直接返回 null
    if (count == 0) return null;
    // 返回下標為 count-1 的陣列元素，並且棧中元素個數 count 減一
    String tmp = items[count-1];
    --count;
    return tmp;
  }
}
 

棧的時間、空間複雜度

不管是順序棧還是鏈式棧，我們儲存資料只需要一個大小為 n 的陣列就夠了。在入棧和出棧過程中，只需要一兩個臨時變數儲存空間，所以空間複雜度是 O(1)。

注意，這裡儲存資料需要一個大小為 n 的陣列，並不是說空間複雜度就是 O(n)。因為，這 n 個空間是必須的，無法省掉。所以我們說空間複雜度的時候，是指除了原本的資料儲存空間外，演算法執行還需要額外的儲存空間。

3.支援動態擴容的順序棧

剛才那個基於陣列實現的棧，是一個固定大小的棧，也就是說，在初始化棧時需要事先指定棧的大小。當棧滿之後，就無法再往棧裡新增資料了。儘管鏈式棧的大小不受限，但要儲存 next 指標，記憶體消耗相對較多。那我們如何基於陣列實現一個可以支援動態擴容的棧呢？

你還記得，我們在陣列那一節，是如何來實現一個支援動態擴容的陣列的嗎？當陣列空間不夠時，我們就重新申請一塊更大的記憶體，將原來陣列中資料統統拷貝過去。這樣就實現了一個支援動態擴容的陣列。

所以，如果要實現一個支援動態擴容的棧，我們只需要底層依賴一個支援動態擴容的陣列就可以了。當棧滿了之後，我們就申請一個更大的陣列，將原來的資料搬移到新陣列中。我畫了一張圖，你可以對照著理解一下。

實際上，支援動態擴容的順序棧，我們平時開發中並不常用到。我講這一塊的目的，主要還是希望帶你練習一下前面講的複雜度分析方法。所以這一小節的重點是複雜度分析。

對於出棧操作來說，我們不會涉及記憶體的重新申請和資料的搬移，所以出棧的時間複雜度仍然是 O(1)。但是，對於入棧操作來說，情況就不一樣了。當棧中有空閒空間時，入棧操作的時間複雜度為 O(1)。但當空間不夠時，就需要重新申請記憶體和資料搬移，所以時間複雜度就變成了 O(n)。

也就是說，對於入棧操作來說，最好情況時間複雜度是 O(1)，最壞情況時間複雜度是 O(n)。那平均情況下的時間複雜度又是多少呢？還記得我們在複雜度分析那一節中講的攤還分析法嗎？這個入棧操作的平均情況下的時間複雜度可以用攤還分析法來分析。我們也正好藉此來實戰一下攤還分析法。

為了分析的方便，我們需要事先做一些假設和定義：

• 棧空間不夠時，我們重新申請一個是原來大小兩倍的陣列；

• 為了簡化分析，假設只有入棧操作沒有出棧操作；

• 定義不涉及記憶體搬移的入棧操作為 simple-push 操作，時間複雜度為 O(1)。

如果當前棧大小為 K，並且已滿，當再有新的資料要入棧時，就需要重新申請 2 倍大小的記憶體，並且做 K 個數據的搬移操作，然後再入棧。但是，接下來的 K-1 次入棧操作，我們都不需要再重新申請記憶體和搬移資料，所以這 K-1 次入棧操作都只需要一個 simple-push 操作就可以完成。如下圖。

你應該可以看出來，這 K 次入棧操作，總共涉及了 K 個數據的搬移，以及 K 次 simple-push 操作。將 K 個數據搬移均攤到 K 次入棧操作，那每個入棧操作只需要一個數據搬移和一個 simple-push 操作。以此類推，入棧操作的均攤時間複雜度就為 O(1)。

通過這個例子的實戰分析，也印證了前面講到的，均攤時間複雜度一般都等於最好情況時間複雜度。因為在大部分情況下，入棧操作的時間複雜度 O 都是 O(1)，只有在個別時刻才會退化為 O(n)，所以把耗時多的入棧操作的時間均攤到其他入棧操作上，平均情況下的耗時就接近 O(1)。

4.棧在函式呼叫中的應用

前面我講的都比較偏理論，我們現在來看下，棧在軟體工程中的實際應用。棧作為一個比較基礎的資料結構，應用場景還是蠻多的。其中，比較經典的一個應用場景就是函式呼叫棧。

我們知道，作業系統給每個執行緒分配了一塊獨立的記憶體空間，這塊記憶體被組織成“棧”這種結構, 用來儲存函式呼叫時的臨時變數。每進入一個函式，就會將臨時變數作為一個棧幀入棧，當被呼叫函式執行完成，返回之後，將這個函式對應的棧幀出棧。為了更好地理解，我們一塊來看下這段程式碼的執行過程。

int main() {
    int a = 1;
    int ret = 0;
    int res = 0;
    ret = add(3, 5);
    res = a + ret;
    printf("%d", res);
    reuturn 0;
}
int add(int x, int y) {
    int sum = 0;
    sum = x + y;
    return sum;
}

上述程式碼，main() 函式呼叫了 add() 函式，獲取計算結果，並且與臨時變數 a 相加，最後列印 res 的值。為了讓你清晰地看到這個過程對應的函式棧裡出棧、入棧的操作，我畫了一張圖。圖中顯示的是，在執行到 add() 函式時，函式呼叫棧的情況。

5.棧在表示式求值中的應用

我們再來看棧的另一個常見的應用場景，編譯器如何利用棧來實現表示式求值。

為了方便解釋，我將算術表示式簡化為只包含加減乘除四則運算，比如：34+13*9+44-12/3。對於這個四則運算，我們人腦可以很快求解出答案，但是對於計算機來說，理解這個表示式本身就是個挺難的事兒。

實際上，編譯器就是通過兩個棧來實現的。其中一個儲存運算元的棧，另一個是儲存運算子的棧。我們從左向右遍歷表示式，當遇到數字，我們就直接壓入運算元棧；當遇到運算子，就與運算子棧的棧頂元素進行比較。

如果比運算子棧頂元素的優先順序高，就將當前運算子壓入棧；如果比運算子棧頂元素的優先順序低或者相同，從運算子棧中取棧頂運算子，從運算元棧的棧頂取 2 個運算元，然後進行計算，再把計算完的結果壓入運算元棧，繼續比較。

我將 3+5*8-6 這個表示式的計算過程畫成了一張圖，你可以結合圖來理解我剛講的計算過程。

6.棧在括號匹配中的應用

除了用棧來實現表示式求值，我們還可以藉助棧來檢查表示式中的括號是否匹配。

我們同樣簡化一下背景。我們假設表示式中只包含三種括號，圓括號 ()、方括號 [] 和花括號{}，並且它們可以任意巢狀。比如，{[{}]}或 [{()}([])] 等都為合法格式，而{[}()] 或 [({)] 為不合法的格式。那我現在給你一個包含三種括號的表示式字串，如何檢查它是否合法呢？

這裡也可以用棧來解決。我們用棧來儲存未匹配的左括號，從左到右依次掃描字串。當掃描到左括號時，則將其壓入棧中；當掃描到右括號時，從棧頂取出一個左括號。如果能夠匹配，比如“(”跟“)”匹配，“[”跟“]”匹配，“{”跟“}”匹配，則繼續掃描剩下的字串。如果掃描的過程中，遇到不能配對的右括號，或者棧中沒有資料，則說明為非法格式。

當所有的括號都掃描完成之後，如果棧為空，則說明字串為合法格式；否則，說明有未匹配的左括號，為非法格式。

7.解答開篇：實現瀏覽器前進後退

我們來看看開篇的思考題，如何實現瀏覽器的前進、後退功能？其實，用兩個棧就可以非常完美地解決這個問題。

我們使用兩個棧，X 和 Y，我們把首次瀏覽的頁面依次壓入棧 X，當點選後退按鈕時，再依次從棧 X 中出棧，並將出棧的資料依次放入棧 Y。當我們點選前進按鈕時，我們依次從棧 Y 中取出資料，放入棧 X 中。當棧 X 中沒有資料時，那就說明沒有頁面可以繼續後退瀏覽了。當棧 Y 中沒有資料，那就說明沒有頁面可以點選前進按鈕瀏覽了。

比如你順序查看了 a，b，c 三個頁面，我們就依次把 a，b，c 壓入棧，這個時候，兩個棧的資料就是這個樣子：

當你通過瀏覽器的後退按鈕，從頁面 c 後退到頁面 a 之後，我們就依次把 c 和 b 從棧 X 中彈出，並且依次放入到棧 Y。這個時候，兩個棧的資料就是這個樣子：

這個時候你又想看頁面 b，於是你又點選前進按鈕回到 b 頁面，我們就把 b 再從棧 Y 中出棧，放入棧 X 中。此時兩個棧的資料是這個樣子：

這個時候，你通過頁面 b 又跳轉到新的頁面 d 了，頁面 c 就無法再通過前進、後退按鈕重複查看了，所以需要清空棧 Y。此時兩個棧的資料這個樣子：

課後思考

1. 我們在講棧的應用時，講到用函式呼叫棧來儲存臨時變數，為什麼函式呼叫要用“棧”來儲存臨時變數呢？用其他資料結構不行嗎？

2. 我們都知道，JVM 記憶體管理中有個“堆疊”的概念。棧記憶體用來儲存區域性變數和方法呼叫，堆記憶體用來儲存 Java 中的物件。那 JVM 裡面的“棧”跟我們這裡說的“棧”是不是一回事呢？如果不是，那它為什麼又叫作“棧”呢？