算法系列之一 ：Google方程式
算法系列之一 ： Google方程式
有一個字元組成的等式：WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM，每個字元代表一個0－9之間的數字，WWWDOT、GOOGLE和DOTCOM都是合法的數字，不能以0開頭。請找出一組字元和數字的對應關係，使它們互相替換，並且替換後的數字能夠滿足等式。這個字元等式是Google公司能力傾向測試實驗室的一道題目，這種題目主要考察人的邏輯推導能力和短期記憶能力，通常棋下的好的人解決這類問題會更得心應手一些（飛行棋例外）。此型別的題目有很多變種，各種程式設計比賽中常常能見到它們的身影。比如2005年的GOOGLE中國程式設計挑戰賽第二輪淘汰賽有一道名為“SecretSum”的500分的競賽題，與本題如出一轍，只不過字母都是三個，而且用的是加法計算。現在言歸正傳，先看看如何分析這個問題。
以人的思維方式分析問題
將橫式改成豎式可能更直觀一些：
根據以上豎式減法，從左向右依次可以得到6個算式，分別是：
W – G = D （算式 1）
W – O = O （算式 2）
W – O = T （算式 3）
D – G = C （算式 4）
O – L = O （算式 5）
T – E = M （算式 6）
根據以上6個算式可以分析出兩個關鍵資訊：一個是W要足夠大，因為考慮到它可能被借位的情況還要等於G和D的和；另一個則是本問題的突破口，就是算式2和算式3兩次出現的W – O計算。現在分析算式2和算式3，根據是否需要借位，算式2和算式3一共有四種借位組合結果，下面分別對這四種借位組合結果進行分析。
1. W – O = T不需要借位，W – O = O也不需要借位
由於W – O = T和W – O = O都不需要借位，則可由算式2變形得到算式1.1：
W = 2O （算式1.1）
將算式1.1帶入算式3，又可以得到算式1.2:
O = T （算式 1.2）
根據算式1.2，O和T代表的數字是同一個數字，這與題目要求不符，因此，這種借位組合不能得到正確的結果。
2. W – O = T需要借位，W – O = O不需要借位
根據借位情況，對算式2和算式3進行借位修正，得到兩個修正算式：
W – 1 – O = O （算式2.1）
W + 10 – O = T （算式2.2）
由算式2.1變形得到算式2.3：
W = 2O + 1 （算式2.3）
將算式2.3帶入算式2.2可以得到算式2.4：
T = O + 11 (算式2.4)
對算式2.3分析，由於W是個位數，最大值是9，所以O的取值只能是1－4，但是無論如何，由算式2.4計算出的T都超過9，這與題目要求不符，因此，這種情況也是無解的情況。
3. W – O = T不需要借位，W – O = O需要借位
根據借位情況，對算式2和算式3進行借位修正，得到兩個修正算式：
W + 10 – O = O （算式3.1）
W – O = T （算式3.2）
由算式3.1變形得到算式3.3：
W = 2O - 10 （算式3.3）
將算式3.3帶入算式3.2由可得到算式3.4：
O – 10 = T （算式3.4）
O顯然是不能比10大的個位數，因此，這種情況也是無解的情況
4. W – O = T需要借位，W – O = O也需要借位
根據借位情況，對算式2和算式3進行借位修正，得到兩個修正算式：
W – 1 + 10 – O = O （算式4.1）
W + 10 – O = T （算式4.2）
由算式4.1變形得到算式4.3：
W = 2O - 9 （算式4.3）
將算式4.3代入算式4.2得到算式4.4：
O + 1 = T （算式4.4）
由於W不能小於0，因此，根據算式4.3，O的取值最小為5。根據算式4.4繼續分析，因為T不能大於9，因此O的最大值只能取值為8。根據O的取值區間[5,8]，可依次計算出W和T的值，如下表所示：
O | W | T |
5 | 1 | 6 |
6 | 3 | 7 |
7 | 5 | 8 |
8 | 7 | 9 |
已知O、W、T的取值，可以進一步推算其他字元代表的數字，上表中得到了四組目前合法的取值，但是並不是四組取值都能最終推算出正確的結果，本題的答案只有一個，也就是說只有一組O、W、T的取值是正確的，下面就分別進行分析。
O = 5, W = 1, T = 7
在這種情況下，考察算式1：W – G = D，W = 1顯然無法滿足此種情況，更何況算式2： W – O = O還要從它這裡借位，因此，這種情況無解。
O = 6, W = 3, T = 7
在這種情況下，算式2： W – O = O還要從它這裡借位，因此算式1：W – G = D對應的實際情況是2 – G = D，G和D不能同時為1，而且G和D都是第一位數字，不能是0，因此無法滿足算式1，這種情況也是無解。
O = 7, W = 5, T = 8
在這種情況下，需要考察另另外兩個關鍵算式，分別是算式5和算式6。根據這兩個算式是否需要借位進行不同的假設，根據組合，仍然有四種假設，下面分別分析這四種假設：
假設一：算式5需要借位，算式6不需要借位。則此時算式5可修正為O + 10 – L = O，推算出L = 10，顯然不符合題意，假設一不成立；
假設二：算式5需要借位，算式6需要借位，則算式5和算式6應該修正為算式4.3.1和算式4.3.2：
O -1 + 10 – L = O （算式4.3.1）
T + 10 – E = M （算式4.3.2）
因為已知T=8，帶入4.3.2可得E+M=18，顯然對於兩個不相同的個位數無法滿足這個等式，因此假設二也不成立；
假設三：算式5不需要借位，算式6不需要借位，此時根據算式6可知E和M的和是8（T=8），排除E=M=4的情況後，E和M的組合可以是(1,7)、(2,6)和(3,5)，又因為數字5和7分別被W和O使用，因此E和M只能是2或6。再回頭來看算式1，因為算式2需要借位，算式1實際相當於G + D = 4，G和D只能取值1和3，若G=1，D=3，則根據算式4計算出C＝2，這與E或M矛盾。若G=3，D=1，則算式4需要借位，這又與算式3的假設矛盾。由此看來，假設三也不能得到正確的結果；
假設四：算式5不需要借位，算式6需要借位，此時根據算式5被修正為O – 1 – L = O，這種情況下也是無解的。
O = 8, W = 7, T = 9
在這種情況下，根據算式5和算式6是否借位的假設，仍然有四種假設，下面分別分析這四種假設：
假設一：算式5需要借位，算式6不需要借位。則此時算式5可修正為O + 10 – L = O，推算出L = 10，顯然不符合題意，假設一不成立；
假設二：算式5需要借位，算式6需要借位，則算式5和算式6應該修正為算式4.4.1和算式4.4.2：
O -1 + 10 – L = O （算式4.4.1）
T + 10 – E = M （算式4.4.2）
因為已知T=9，帶入4.4.2可得E+M=19，兩個不同的個位數的和不可能大於18，因此假設二也不成立；
假設三：算式5不需要借位，算式6不需要借位，此時根據算式6可知E和M的和是9（T=9），E和M的組合可以是(1,8)、(2,7) 、(4,5)和(3,6)，又因為數字8和7分別被O和W使用，因此E和M只能是(4,5)和(3,6)。進一步假設E＝4，M=5（反過來E＝5，M=4是一樣的，不影響分析）。再看算式1，因為算式2需要借位，算式1實際相當於G + D = 6，由於M或E是5，所以G和D只能取值2和4。若G=2，D=4，則根據算式4計算出C＝2，這與G＝2矛盾。若G=4，D=2，則算式4需要借位，這又與算式3的假設矛盾，因此E＝4，M=5的情況無解。再次進一步假設E＝3，M=6（反過來E＝6，M=3是一樣的，不影響分析）。同樣再看算式1，G和D的值可取是(2,4)和(1,5)，G和D取值1和2的情況剛剛分析過無解，因此G和D的取值只能是1和5，前面分析過，算式4沒有借位，也就是說要保證D > G，因此，D＝5，G=1，根據算式4計算出C＝4，這樣就得到了一組解：O = 8，W = 7，T = 9，D = 5，L = 0， G = 1，C = 4，E = 3/6，M = 6/3。最終的等式是：
777589 - 188103 = 589486
或
777589 - 188106 = 589483
假設四：算式5不需要借位，算式6需要借位，此時根據算式5被修正為O – 1 – L = O，這種情況下也是無解的。
完整的分析過程結束，得到了一組答案，事實上通過計算機窮舉演算法也只能得到這一組結果，下面就看看如何用計算機演算法求解本題的答案。
用計算機窮舉所有的解
以上是用人的思維方式的解題過程，如果方法正確，加上運氣好（三次假設都是正確的，避免在錯誤分支上浪費時間），兩分鐘內就可得到結果。但是考慮到更通用的情況，字母數字沒有規律，也沒有可供分析的入手點和線索，比如：
AAB – BBC = CCD
這樣的問題，該什麼方法解決呢？只能“猜想”，用窮舉的方法試探每一種猜想，對每個字母和數字窮舉所有可能的組合，直到得到正確的結果。當然，這樣的力氣活交給計算機做是最合適不過了。
1. 建立數學模型
要想讓計算機解決問題，就要讓計算機能夠理解題目，這就需要建立一個計算機能夠識別、處理的數學模型，首先要解決的問題就是建立字母和數字的對映關係的數學模型。本題的數學模型很簡單，就是一個字母二元組：{char, number}。考察等式：
WWWDOT - GOOGLE = DOTCOM
共出現了9個不同的字母：W、D、O、T、G、L、E、C和M，因此，最終的解應該是9個字母對應的字母二元組向量：[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', 6} ]。窮舉演算法就是對這個字母二元組向量中每個字母二元組的number元素進行窮舉，number的窮舉範圍就是0－9共10個數字，當然，根據題目要求，有一些字元不能為0，比如W、G和D。排列組合問題的窮舉多使用多重迴圈，看樣子這個窮舉演算法應該是9重迴圈了，在每層迴圈中對一個字母進行從0到9遍歷。問題是，必須這樣嗎，對於更通用的情況，不是9個字母的問題怎麼辦？首先思考一下是否每次都要遍歷0－9。題目要求每個字母代表一個數字，而且不重複，很顯然，對每個字母進行的並不是排列，而是某種形式的組合，舉個例子，就是如果W字母佔用了數字7，那麼其它字母就肯定不是7，所以對D字母遍歷是就可以跳過7。進一步，假設某次遍歷的字母二元組向量中除M字母外其它8個字母已經有對應的數字了，比如：
[ {'W', 7}, {'D', 5}, {'O', 8}, {'T', 9}, {'G', 1}, {'L', 0}, {'E', 3}, {'C', 4}, {'M', ?} ] （序列－1）
那麼M的可選範圍就只有2和6，顯然沒必要使用9重迴圈。
現在換一種想法，對9個二元組的向量進行遍歷，可以分解為兩個步驟，首先確定第一個二元組的值，然後對剩下的8個二元組進行遍歷。顯然這是一種遞迴的思想（分治），演算法很簡單，但是要對10個數字的使用情況進行標識，對剩下的二元組進行遍歷時只使用沒有佔用標識的數字。因此還需要一個標識數字佔用情況的數字二元組定義，這個二元組可以這樣定義：{number, using}，0－9共有10個數字，因此需要維護一個長度為10的數字二元組向量。數字二元組向量的初始值是：
[{0, false}, {1, false},{2, false},{3, false},{4, false},{5, false},{6, false},{7, false},{8, false},{9, false}] （序列－2）
每進行一重遞迴就有一個數字的using標誌被置為true，當字母二元組向量得到（序列－1）的結果時，對應的數字二元組向量的值應該是：
[{0, true}, {1, true},{2, false},{3, true},{4, true},{5, true},{6, false},{7, true},{8, true},{9, true}] （序列－3）
此時遍歷這個數字二元組向量就可以知道M字母的可選值只能是2或6。
窮舉遍歷的結束條件是每層遞迴中遍歷完所有using標誌是false的數字，最外一層遍歷完所有using標誌是false的數字就結束了演算法。
根據題目要求，開始位置的數字不能是0，也就是W、G和D這三個字母不能是0，這是一個“剪枝”條件，要利用起來，因此，對字母二元組進行擴充成字母三元組，新增一個leading標誌：{char, number, leading}。下面就是這個數學模型的C語言定義：
4 typedef struct 5 { 6 char c; 7 int value; 8 bool leading; 9 }CharItem; 10 11 typedef struct 12 { 13 bool used; 14 int value; 15 }CharValue; |
根據此數學模型初始化字母三元組和數字二元組向量：
29 30 CharItem char_item[max_char_count] = 31 { 32 { 'W', -1, true }, { 'D', -1, true }, { 'O', -1, false }, 33 { 'T', -1, false }, { 'G', -1, true }, { 'L', -1, false }, 34 { 'E', -1, false }, { 'C', -1, false }, { 'M', -1, false } 35 }; 36 37 CharValue char_val[max_number_count] = 38 { 39 {false, 0}, {false, 1}, {false, 2}, {false, 3}, 40 {false, 4}, {false, 5}, {false, 6}, {false, 7}, 41 {false, 8}, {false, 9} 42 }; 43 |
2. 窮舉演算法
建立數學模型，其實就是為了讓計算機理解題目並處理相關的資料，演算法就是告訴計算機如何使用這些模型中的資料。本文介紹的是窮舉演算法，演算法的核心其實前面已經提到了，就是窮舉所有的字母和數字的組合，對每種組合進行合法性判斷，如果是合法的組合，就輸出結果。
整個演算法的核心是SearchingResult()函式，其實這個函式非常簡單：
54 55 void SearchingResult(CharItem ci[max_char_count], 56 CharValue cv[max_number_count], 57 int index, CharListReadyFuncPtr callback) 58 { 59 if(index == max_char_count) 60 { 61 callback(ci); 62 return; 63 } 64 65 for(int i = 0; i < max_number_count; ++i) 66 { 67 if(IsValueValid(ci[index], cv[i])) 68 { 69 cv[i].used = true;/*set used sign*/ 70 ci[index].value = cv[i].value; 71 SearchingResult(ci, cv, index + 1, callback); 72 cv[i].used = false;/*clear used sign*/ 73 } 74 } 75 } 76 |
SearchingResult()函式有四個引數，ci就是儲存遍歷結果的字母三元組向量，cv是儲存遍歷過程中數字佔用情況的數字二元組向量，index是當前處理的字母三元組在字母三元組向量中的位置索引，0表示第一個字母三元組。callback是一個回撥函式，當ci中所有三元組都分配了數字，就呼叫callback對這組解進行判斷，如果滿足算式就輸出結果。SearchingResult()函式的程式碼分兩部分，前一部分是結束條件判斷和結果輸出，後一部分是演算法的關鍵。演算法就是遍歷cv中的所有數字二元組，對於每一個可用的數字（當前沒有被佔用，並且滿足第一個數字不是0的要求），首先設定佔用標誌，然後將當前字母三元組的值與這個數字的值繫結，最後遞迴處理下一個字母三元組。
SearchingResult()函式是一個通用過程，負責字母和數字的組合，回撥函式(callback)負責根據題目要求對SearchingResult()函式得到的字母和數字的組合進行篩選，只輸出正確的組合。對於本題，回撥函式可以這樣實現：
6 7 void OnCharListReady(CharItem ci[max_char_count]) 8 { 9 char *minuend = "WWWDOT"; 10 char *subtrahend = "GOOGLE"; 11 char *diff = "DOTCOM"; 12 13 int m = MakeIntegerValue(ci, minuend); 14 int s = MakeIntegerValue(ci, subtrahend); 15 int d = MakeIntegerValue(ci, diff); 16 if((m - s) == d) 17 { 18 std::cout << m << " - " << s << " = " << d << std::endl; 19 } 20 } 21 |
3. 結果驗證
根據char_item和char_val的初始資料，求解本題的Google方程式：
SearchingResult(char_item, char_val, 0, OnCharListReady);
窮舉演算法可以得到兩個結果（M和E可以互換）：
777589 - 188103 = 589486
777589 - 188106 = 589483
由於演算法具有通用性，對於前文例子中的等式：
AAB – BBC = CCD
只需要構造新的字母三元組向量，並修改回撥函式的過濾資料即可。新的字母三元組可按照如下方式構造：
33 34 CharItem char_item[max_char_count] = { {'A', -1, true}, {'B', -1, true}, {'C', -1, true}, 35 {'D', -1, false} }; 36 |
回撥函式與前文的OnCharListReady()函式類似，此處不再列出。根據新的字元三元組和回撥函式執行演算法，可以得到13組結果：
443 - 331 = 112
553 - 332 = 221
554 - 441 = 113
665 - 551 = 114
774 - 443 = 331
775 - 552 = 223
776 - 661 = 115
885 - 553 = 332
886 - 662 = 224
887 - 771 = 116
995 - 554 = 441
997 - 772 = 225
998 - 881 = 117
對於加法、乘法和除法算式，同樣只要使用不用的回撥函式進行結果判斷即可，不需要修改SearchingResult()函式，例如加法算式：
ABC + ABC = BCE
可以得到5組結果：
124 + 124 = 248
125 + 125 = 250
249 + 249 = 498
374 + 374 = 748
375 + 375 = 750