\(\color{#0066ff}{題目描述}\)

給出N個點，讓你畫一個最小的包含所有點的圓。

\(\color{#0066ff}{輸入格式}\)

先給出點的個數N,2<=N<=100000，再給出座標Xi,Yi.(-10000.0<=xi,yi<=10000.0)

\(\color{#0066ff}{輸出格式}\)

輸出圓的半徑，及圓心的座標，保留10位小數

\(\color{#0066ff}{輸入樣例}\)

6
8.0 9.0
4.0 7.5
1.0 2.0
5.1 8.7
9.0 2.0
4.5 1.0

\(\color{#0066ff}{輸出樣例}\)

5.0000000000
5.0000000000 5.0000000000

\(\color{#0066ff}{資料範圍與提示}\)

none

\(\color{#0066ff}{題解}\)

隨機增量法

前置知識，三點定圓

設圓上有三個點\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)

我們可以找這些點的連線的任兩條線，找它們垂直平分線的交點就是圓心

易得向量(線段)AB,BC

設兩條線段的垂直平分線為\(A_1x+B_1y=C_1,A_2x+B_2y=C_2\)

上式的A和B分別是兩個向量的x和y(法向量(可以帶入驗證))

之後帶入AB，BC的中點來求出兩個C

聯立兩個垂直平分線，解出來

\(x=\frac{C_2*B_1-C_1*B_2}{A_2*B_1-A_1*B_2}, y=\frac{C_2*A_1-C_1*A_2}{B_2*A_1-B_1*A_2}\)

有了圓心，半徑自然好求，隨便找圓上一點（A，B，C）與圓心求距離就是半徑了

隨機增量

初始設定第一個點為圓心，半徑為0

依次掃每個點，如果不在當前圓內，則以那個點為圓心

再次掃從頭開始到當前的每個點，如果不在當前圓中

則當前點與那個點作為新圓直徑，構成當前圓，再次掃到當前每個點

如果仍有不在圓內的，三點定圓

#include <bits/stdc++.h>
#define _ 0
#define LL long long
inline LL in() {
    LL x = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    while(isdigit(ch)) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return x * f;
}
const int maxn = 1e5 + 10;
const double eps = 1e-14;
struct node {
    double x, y;
    node(double x = 0, double y = 0)
        :x(x), y(y) {}
    double mod() {
        return sqrt(x * x + y * y);
    }
    friend node operator - (const node &a, const node &b) {
        return node(a.x - b.x, a.y - b.y);
    }
    friend node operator + (const node &a, const node &b) {
        return node((a.x + b.x) / 2.0, (a.y + b.y) / 2.0);
    }
}e[maxn];
int n;

void circle(node a, node b, node c, node &o, double &r) {
    node ab = b - a, bc = c - b, mid1 = a + b, mid2 = b + c;
    double A1 = ab.x, B1 = ab.y, A2 = bc.x, B2 = bc.y;
    double C1 = A1 * mid1.x + B1 * mid1.y, C2 = A2 * mid2.x + B2 * mid2.y;
    o = node((C2 * B1 - C1 * B2) / (A2 * B1 - A1 * B2), (C2 * A1 - C1 * A2) / (B2 * A1 - B1 * A2));r = (o - a).mod(); 
}

void work() {
    node o = e[1];
    double r = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        if((e[i] - o).mod() - r > eps) { 
            o = e[i], r = 0;
            for(int j = 1; j <= i - 1; j++)
                if((e[j] - o).mod() - r > eps) {
                    o = e[i] + e[j];
                    r = (o - e[i]).mod();
                    for(int k = 1; k <= j - 1; k++)
                        if((e[k] - o).mod() - r > eps)
                            circle(e[i], e[j], e[k], o, r);
                }
        }
    printf("%.10f\n%.10f %.10f", r, o.x, o.y);
}

int main() {
    n = in();
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &e[i].x, &e[i].y);
    work();
    return 0;
}