這一個星期以來，被揹包問題搞得稀裡糊塗。不過還是有收穫。

對於一個01揹包問題（01揹包是在M件物品取出若干件放在空間為W的揹包裡，每件物品的體積為C₁，C₂，…，C_n，與之相對應的價值為W₁,W₂，…，W_n.求解將那些物品裝入揹包可使總價值最大。）我的理解如下：

首先二維陣列：

for(int i = 0; i < n; i++)
{
    for(int j = 0; j <= W; j++)
    {

//主要是狀態轉移方程

if(j < w[i])

        {
            dp[i+1][j] = dp[i][j];  //不夠取的情況
        }
        
 
else
        {
            dp[i+1][j] =max{dp[i][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]};   //夠取的情況，以最大值決定取還是不取
        }
    }
}

一維陣列

memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
  scanf("%d%d",&V,&W);
  for(int j = C; j >= 0 ; j-- )//注意逆序，看註釋
  if(j >= V) f[j] = max ( f[j] , f[j-V] + W );
}

重點來了：

一 :    f [ j ]  表示剩餘空間為 j 時所能裝的最大價值，而不是已經裝的物品的價值

二 ：  最讓我迷惑的一點，當 i=1 時 f [ j ] 表示什麼?

         實際上 ，當 i = 1 時說明只有一個物品可選，即使後面還有物品（因為此時只考慮 i = 1  的情況），即使空間再大隻能選一個。

         還有就是。初始化時 i=0 時，陣列 f 全部初始化為 0 。 

三：    逆序,因為是一維陣列，所以要儲存類似於f[ i -1 ] [ j ]的效果只能逆序；否則順序會導致f[ i  ] [ j ]

          另附：漫畫動態規劃