揹包問題小總結 習題（動態規劃01揹包（第k優解）完全揹包，多重揹包）acm杭電HDU2639，HDU2602，HDU1114，HDU2191
1、01揹包（每種物品只有一個）
題目 有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。
求解將哪些物 品裝入揹包可使價值總和最大。
基本思路 這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。 用子問題定義狀態：
即表示前i件物品恰放入一個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。 則其狀態轉移方程便是：
f[i][v] =Max { f[i−1][v] ，f[i−1][v−c[i]] + w[i] }
這個方程非常重要
把第i個物品在考慮加進去的時候，計算一下，加入這個物品後，揹包的價值能不能提高，這就是狀態方程 的意義。
核心程式碼：
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int v=V;v>=c[i];v--)
f[v]=max(f[v],f[v-c[i]]+w[i]); 程式碼實現時一般用到三個一維陣列：f [V] , v[N] , w[N]。
V表示揹包的最大容量，N表示物品個數
陣列f存的是狀態，比如說，f [ j ] 就表示把揹包裝到 j 這麼重的時候的最大價值
陣列v 和 w 分別存價值和重量。
題意：Teddy撿石頭往他的揹包裡放，給出揹包容量，石頭個數，還有每個石頭的重量和價值。求出怎麼樣選擇 石頭，可以獲得最大的價值。（經典）
程式碼：
#include<stdio.h> #include<string.h> int max(int a,int b) { return a>b?a:b; } int main() { int T,N,V; int i,j; int bag[1010],v[1010],w[1010]; scanf("%d",&T); while(T--) { memset(bag,0,sizeof(bag));//把揹包各個狀態是的價值設為0 scanf("%d%d",&N,&V); for(i=0;i<N;i++) scanf("%d",v+i); for(i=0;i<N;i++) scanf("%d",w+i); for(i=0;i<N;i++) //第i個物品 for(j=V;j>=w[i];j--){ //j狀態的揹包（計算重量為j是的最大價值） bag[j]=max(bag[j],bag[j-w[i]]+v[i]); } printf("%d\n",bag[V]); } return 0; }
題意：就是像一種購買方案，在最後一次買的時候，買最貴的把卡的餘額欠的最大。但是在買最後一個之前，要把
卡的餘額刷到最接近5元（大於等於）。這個過程類似01揹包。
思路：該題需要把卡的餘額類比成揹包重量。需要注意，每種菜的價值和重量相等，都是菜價。也就是揹包問題中
v [ i ] == w [ i ]
程式碼：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int N,V,m;
int i,j;
int bag[1010],v[1010];
while(~scanf("%d",&N),N)
{
memset(bag,0,sizeof(bag));
for(i=0;i<N;i++)
scanf("%d",v+i);
sort(v,v+N);//通過排序把最貴的菜放到最後一個位置
scanf("%d",&m);//把卡餘額m看做揹包容量
//飯菜的價格即代表他的價值，也代表他的重量
V=m-5;//我們的目的是把卡餘額儘量刷到5元
if(m<5){
printf("%d\n",m);
continue;
}
for(i=0;i<N-1;i++) //第i個菜
for(j=V;j>=v[i];j--){
bag[j]=max(bag[j],bag[j-v[i]]+v[i]);
}
printf("%d\n",m-v[N-1]-bag[V]);//減掉最貴的菜，和規劃好的最大消費
}
return 0;
}
總結：狀態方程不能死記硬背，要根據題目意思靈活應變。上面的程式碼中，揹包狀態都是從V往物品重量遞推，且要取等號，恰好裝也可以。
2、完全揹包（每種物品有無限個）
題目 有N種物品和一個容量為V的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]， 價值是w[i]。求解將哪 些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最 大。
基本思路 這個問題非常類似於01揹包問題，所不同的是每種物品有無限件。也就是從每種 物品的角度考慮，與它相 關的策略已並非取或不取兩種，而是有取0件、取1件、取2件……等很 多種。如果仍然按照解01揹包時 的思路，令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量為v的揹包的最 大價值。可以按照每種物品不同的 策略寫出狀態轉移方程：
f[i][v] = max { f[i−1][ v−k×w[i] ] + k×v[i] } 0 <= k×c[i] <= V
但是實際程式碼不是這麼直接套用的，而是在當前狀態下，繼續添加當前物品，直到揹包裝滿。
for(int i=0;i<N;i++)
for(int j=w[i];j<=V;j++)//V是揹包最大容量
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]) //陣列w重量，v價值注意：
和01揹包僅有一點區別，就是迴圈順序。但是動態規劃出來的結果是截然不同的！
先回憶一下01揹包為什麼要到這迴圈，因為每一個物品在裝進去的時候，都要用到前一個狀態的資料來計算當前物品要不要加入。簡單說，就是由前面物品裝好的狀態推出當前物品裝入的狀態。
而內迴圈為正序時，先更新狀態，再用更新了的狀態繼續更新當前狀態，就產生了一個現象：在不超揹包容量的狀態下，我可以一直用當前物品不斷更新揹包狀態，即不斷往揹包裡填同一個物品。打個比方，我想在正在裝一個重m的物品，進入內迴圈，我先把f [m] 這個狀態更新了，想在f [m]就是裝入了m後的最大價值，繼續更新f [m+1]的狀態，我會用到 f [j]=max( f [j], f [j-v[i]]+v[i]); 這個語句，也就是會呼叫到更小重量時的狀態，而我恰好在這之前更新過了，那不就是我可以第二次把物品m裝進揹包嗎。以此類推，我往後更新狀態過程中，我可以無限的把同一個物品 i 往裡裝。
題意：某人有個存錢罐（存硬幣），空著的時候重E，存滿錢是重F。現在他把罐子裝滿錢了，給出硬幣種類和重量，計算存錢罐最少能存多少錢。
思路：完全揹包。每種硬幣可以無限放。但是這裡不是求最大價值，而是求最小价值，所以我們先假設所有狀態為正無窮，然後不斷更新dp，以求得最小价值。這樣在動態規劃時需要注意一點，狀態0始終未0，即f [ 0 ] =0恆成立
程式碼：
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x6fffffff;
int f[10010];
int main()
{
int T,E,F,M,N;
int p,w; //價值和重量
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
for(int i=1;i<=10002;i++)f[i]=INF;
f[0]=0;//這一步很重要，給動態規劃一個開頭
scanf("%d%d%d",&E,&F,&N);
M=F-E; //最大錢數M
for(int i=0;i<N;i++){ //第 i 種硬幣
scanf("%d%d",&p,&w);
for(int j=w;j<=M;j++) //不斷往裡放這種硬幣，取錢數少的方案
f[j]=min(f[j],f[j-w]+p);
}
if(f[M]==INF)
puts("This is impossible.");
else
printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",f[M]);
}
return 0;
}
總結：與01揹包的程式碼實現類似，但過程卻相差甚大，一定要區分程式碼的計算思路
3、多重揹包（每種物品有多個）
與01揹包類似，只不過每種物品的數量不止一個。最直接的想法，把物品i有n個想象成，有n個物品一模一樣，再用01揹包求解即可。
51nod（優化程式碼）
基準時間限制：1 秒 空間限制：131072 KB 分值: 40 難度：4級演算法題
收藏
關注
有N種物品，每種物品的數量為C1，C2......Cn。從中任選若干件放在容量為W的揹包裡，每種物品的體積為W1，W2......Wn（Wi為整數），與之相對應的價值為P1,P2......Pn（Pi為整數）。求揹包能夠容納的最大價值。
Input
第1行，2個整數，N和W中間用空格隔開。N為物品的種類，W為揹包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3個整數，Wi，Pi和Ci分別是物品體積、價值和數量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)Output
輸出可以容納的最大價值。Input示例
3 6
2 2 5
3 3 8
1 4 1Output示例
9如Ci = 14，我們可以把它化成如下4個物品：
重量是Wi，體積是Vi
重量是2 * Wi , 體積是2 * Vi
重量是4 * Wi , 體積是4 * Vi
重量是7 * Wi , 體積是7 * Vi
注意最後我們最後我們不能取，重量是8 * Wi , 體積是8 * Vi 因為那樣總的個數是1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 8 ＝ 15個了，我們不能多取對吧？
【程式碼】：
#include<stdio.h>
typedef long long ll;
template<class T>T max(T a,T b)
{
return a>b?a:b;
}
ll f[60000];
ll w[2002000];
ll p[2002000];
int main()
{
int n,W;
scanf("%d%d",&n,&W);
int k=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int w1,p1,c1;
scanf("%d%d%d",&w1,&p1,&c1);
int t=1;
while(c1>0)
{
if(c1>t)
{
w[k]=t*w1;
p[k]=t*p1;
}
else
{
w[k]=c1*w1;
p[k]=c1*p1;
}
c1=c1-t;
t=t*2;
k++;
}
}
for(int i=0;i<k;i++)
for(int j=W;j>=w[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+p[i]);
}
printf("%lld\n",f[W]);
return 0;
}程式碼：
//HDU 2191 多重揹包
#include<stdio.h>
int val[110],wei[110],count[110],dp[110];//價格，重量，袋數。動態揹包
int max(int a,int b)
{
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n,m;// 錢數，種類
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%d",val+i,wei+i,count+i);
}
for(int i=0;i<=n;i++) dp[i]=0;//初始為0
for(int i=0;i<m;i++) //第 i 種大米
for(int k=1;k<=count[i];k++) //大米 i 放入的次數
for(int j=n;j>=val[i];j--) // 動態規劃
dp[j]=max(dp[j],dp[j-val[i]]+wei[i]);
printf("%d\n",dp[n]); //陣列dp存的是重量
}
return 0;
}4、01揹包第k個最優解
思想與01揹包相同，不過在動態規劃過程中，不可以把前一個狀態的最優解扔掉，而要儲存下來。
在01揹包中，狀態陣列是 f [ v ] ，表示容積為v時的最優決策。而現在，我不僅要知道最優決策，我還想知道稍微差一點的決策，即第2決策、第3決策....排個名。f [ v ] 我們可以看做是 f [ v ] [ 1 ] 這樣的二維陣列，他的第二維只有一個元素，也就是最優決策。現在我們增大第二維，比如 f [ v ] [ 3 ] ，意思是，不僅保留了最優解，次解也保留下來了。
也可以理解為，第二維是一個集合，集合裡就存了所有可能的決策，並按大小有序，排在第一的就是最優解。
現在問題是 第k個最優決策是多少。
在01揹包裡，我們只保留了最優解，而把不是最優解的解直接捨棄了，即
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i])這時候，較小的那個解直接捨棄了，沒保留下來。現在我們要做的就是，藉助陣列把所有的解都保留下來。
核心程式碼：
int i,j,t;
for(i=0;i<n;i++) //對每個物品掃描
for(j=v;j>=vol[i];j--) //對每個狀態進行更新
{
for(t=1;t<=k;t++)
{ //把所有可能的解都存起來
a[t]=f[j][t];
b[t]=f[j-vol[i]][t]+val[i];
}
int m,x,y;
m=x=y=1;
a[k+1]=b[k+1]=-1;
//下面的迴圈相當於求a和b並集，也就是所有的可能解
while(m<=k && (a[x]!=-1 || b[y]!=-1))
{
if(a[x]>b[y])
f[j][m]=a[x++];
else
f[j][m]=b[y++];
if(f[j][m]!=f[j][m-1])
m++;
}
}和01揹包的程式碼比較一下。就是多了裡面一層處理比較麻煩，但思想很容易接受。就是把所有可能解先借助a，b兩個陣列存下來，然後按順序賦給狀態陣列f。
模板題
程式碼：
#include <stdio.h>
#include<string.h>
int f[1010][33];//第一維和普通01揹包一樣。第二維存多個最優解
int val[110],vol[110];//價值和體積
int a[33],b[33];//用於暫時儲存多組最優解
int n,v,k;
int i,j,t,T;
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d%d",&n,&v,&k);
for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&val[i]);
for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&vol[i]);
memset(f,0,sizeof(f));//對狀態陣列清0
for(i=0;i<n;i++) //對每個物品掃描
for(j=v;j>=vol[i];j--) //對每個狀態進行更新
{
for(t=1;t<=k;t++)
{ //把所有可能的解都存起來
a[t]=f[j][t];
b[t]=f[j-vol[i]][t]+val[i];
}
int m,x,y;
m=x=y=1;
a[k+1]=b[k+1]=-1;
//下面的迴圈相當於求a和b並集，也就是所有的可能解
while(m<=k && (a[x]!=-1 || b[y]!=-1))
{
if(a[x]>b[y])
f[j][m]=a[x++];
else
f[j][m]=b[y++];
if(f[j][m]!=f[j][m-1])
m++;
}
}
printf("%d\n",f[v][k]);
}
return 0;
} 5、01揹包記錄路徑.
用二維陣列來記錄，path[ m ] [ n ] 。其中m表示物品（m<=物品數），n表示揹包狀態（n<=揹包容量）。
比如 path [ i ] [ j ] 表示物品 i 放在了狀態 j 的揹包中。 前提條件：path陣列全部為0，
程式碼實現記錄路徑：
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=V;j>=v[i];j--)
if(f[j]<f[j-v[i]]+w[i])
{
f[j]=f[j-v[i]]+w[i];
path[i][j]=1; //把裝進去的物品標記一下
}路徑讀取程式碼：
int i=n-1,j=V; //V：揹包容量。n個物品
while(i>=0&&j>=0)
{
if(path[i][j])//物品i在j裡
{
printf("%d ",i);//把物品i的編號輸出
j-=v[i]; //讀完了物品i，找下一個揹包狀態
}
i--;
}