Bone Collector II

Time Limit: 5000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3803    Accepted Submission(s): 1966


Problem Description The title of this problem is familiar,isn't it?yeah,if you had took part in the "Rookie Cup" competition,you must have seem this title.If you haven't seen it before,it doesn't matter,I will give you a link:

Here is the link:

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

Today we are not desiring the maximum value of bones,but the K-th maximum value of the bones.NOTICE that,we considerate two ways that get the same value of bones are the same.That means,it will be a strictly decreasing sequence from the 1st maximum , 2nd maximum .. to the K-th maximum.

If the total number of different values is less than K,just ouput 0.
Input The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, K(N <= 100 , V <= 1000 , K <= 30)representing the number of bones and the volume of his bag and the K we need. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

Output One integer per line representing the K-th maximum of the total value (this number will be less than 2³¹).

Sample Input 3 5 10 2 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 5 10 12 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 5 10 16 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1
Sample Output 12 2 0

題意：給出一個01揹包的模型，要求第k大的揹包解。

思路：

求第K優解

對於求次優解、第K優解類的問題，如果相應的最優解問題能寫出狀態轉移方程、用動態規劃解決，那麼求次優解往往可以相同的複雜度解決，第K優解則比求最優解的複雜度上多一個係數K。其基本思想是將每個狀態都表示成有序佇列，將狀態轉移方程中的max/min轉化成有序佇列的合併。這裡仍然以01揹包為例講解一下。首先看01揹包求最優解的狀態轉移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K優解，那麼狀態f[i][v]就應該是一個大小為K的陣列f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i個物品、揹包大小為 v時，第k優解的值。“f[i][v]是一個大小為K的陣列”這一句，熟悉C語言的同學可能比較好理解，或者也可以簡單地理解為在原來的方程中加了一維。 顯然f[i][v][1..K]這K個數是由大到小排列的，所以我們把它認為是一個有序佇列。然後原方程就可以解釋為：f[i][v]這個有序佇列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]這兩個有序佇列合併得到的。有序佇列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]則理解為在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每個數上加上w[i]後得到的有序佇列。合併這兩個有序佇列並將結果的前K項儲存到f[i][v][1..K]中的複雜度是O(K)。最後的答案是f[N][V][K]。總的複雜度是O(VNK)。

為什麼這個方法正確呢？實際上，一個正確的狀態轉移方程的求解過程遍歷了所有可用的策略，也就覆蓋了問題的所有方案。只不過由於是求最優解，所以其 它在任何一個策略上達不到最優的方案都被忽略了。如果把每個狀態表示成一個大小為K的陣列，並在這個陣列中有序的儲存該狀態可取到的前K個最優值。那麼， 對於任兩個狀態的max運算等價於兩個由大到小的有序佇列的合併。另外還要注意題目對於“第K優解”的定義，將策略不同但權值相同的兩個方案是看作同一個解還是不同的解。如果是前者，則維護有序佇列時要保證佇列裡的數沒有重複的。

用個形象的比喻吧：如果我想知道學年最高分，那麼，我只要知道每個班級的最高分，然後統計一遍就可以了。如果我想知道學年前十呢？我必須要知道每個班的前十名。大家在心裡模擬一下，對，這就是本題核心的演算法。兩種決策，就可以看作這個學年只有兩個班。

根據以上思路，將原來的dp[i]擴充套件成dp[i][j]表示揹包容量用了i的第j優解。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
int val[110],cost[110],dp[1010][35];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,v,k;
        scanf("%d%d%d",&n,&v,&k);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&val[i]);
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&cost[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=v; j>=cost[i]; j--)
            {
                int A[35],B[35];
                for(int kk=1; kk<=k; kk++)
                {
                    A[kk]=dp[j-cost[i]][kk]+val[i];
                    B[kk]=dp[j][kk];
                }
                int a=1,b=1,c=1;
                A[k+1]=-1,B[k+1]=-1;
                while(c<=k&&(A[a]!=-1||B[b]!=-1))
                {
                    if(A[a]>B[b])
                        dp[j][c]=A[a++];
                    else
                        dp[j][c]=B[b++];
                    if(dp[j][c]!=dp[j][c-1])
                        c++;
                }
            }
        printf("%d\n",dp[v][k]);
    }
    return 0;
}