BZOJ1227 SDOI2009 虔誠的墓主人

Description

小W 是一片新造公墓的管理人。公墓可以看成一塊N×M 的矩形，矩形的每個格點，要麼種著一棵常青樹，要麼是一塊還沒有歸屬的墓地。當地的居民都是非常虔誠的基督徒，他們願意提前為自己找一塊合適墓地。為了體現自己對主的真誠，他們希望自己的墓地擁有著較高的虔誠度。一塊墓地的虔誠度是指以這塊墓地為中心的十字架的數目。一個十字架可以看成中間是墓地，墓地的正上、正下、正左、正右都有恰好k 棵常青樹。小W 希望知道他所管理的這片公墓中所有墓地的虔誠度總和是多少

Input

第一行包含兩個用空格分隔的正整數N 和M，表示公墓的寬和長，因此這個矩形公墓共有(N+1) ×(M+1)個格點，左下角的座標為(0, 0)，右上角的座標為(N, M)。第二行包含一個正整數W，表示公墓中常青樹的個數。第三行起共W 行，每行包含兩個用空格分隔的非負整數xi和yi，表示一棵常青樹的座標。輸入保證沒有兩棵常青樹擁有相同的座標。最後一行包含一個正整數k，意義如題目所示。

Output

包含一個非負整數，表示這片公墓中所有墓地的虔誠度總和。為了方便起見，答案對2,147,483,648 取模。

Sample Input

5 6
13
0 2
0 3
1 2
1 3
2 0
2 1
2 4
2 5
2 6
3 2
3 3
4 3
5 2
2

Sample Output

6

HINT

圖中，以墓地(2, 2)和(2, 3)為中心的十字架各有3個，即它們的虔誠度均為3。其他墓地的虔誠度為0。
所有資料滿足1 ≤ N, M ≤ 1,000,000,000，0 ≤ xi ≤ N，0 ≤ yi ≤ M，1 ≤ W ≤ 100,000， 1 ≤ k ≤ 10。存在50%的資料，滿足1 ≤ k ≤ 2。存在25%的資料，滿足1 ≤ W ≤ 10000。
注意：”恰好有k顆樹“，這裡的恰好不是有且只有，而是從>=k的樹中恰好選k棵

思路

首先離散化是肯定的，很容易證明如果在原圖中存在的答案一定存在於離散化後的點上

然後我們考慮對這個東西進行處理

首先對於單獨的一個位置$[x,y]$，我們是可以算出四個值$l_i,r_i,u_i,d_i$分別表示以這個點為中心上下左右分別有多少個點有答案，所以我們考慮掃描線，每次統計一個區間的答案

但是我們又發現對於任何兩個點$[x_1,y_1][x_2,y_2]$當滿足$y_1=y_2$的時候對於任何的$x_k \in (x_1,x_2)$

然後又一個小技巧，因為這裡是對2,147,483,648 取模，所以直接自然溢位就自動取模了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL unsigned int
#define N 1000010
#define fu(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define fd(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
#define lb(x) (x&(-x))
struct Node{int x,y;}p[N];
int n,m,w,k;
int prex[N],prey[N],sum[N];
int up[N],down[N];
LL t[N],c[N][12];
vector<int> v[N];
bool cmp(Node a,Node b){
  if(a.y==b.y)return a.x<b.x;
  return a.y<b.y;
}
void add(int x,LL vl){for(;x<N;x+=lb(x))t[x]+=vl;}
LL query(int x){LL res=0;for(;x;x-=lb(x))res+=t[x];return res;}
LL query(int l,int r){return query(r)-query(l-1);}
void init(){
  int len=max(n,m);
  fu(i,0,len)c[i][0]=c[i][i]=1;
  fu(i,2,len)
    fu(j,1,k)
      c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&w);
  fu(i,1,w){
    scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    prex[i]=p[i].x;
    prey[i]=p[i].y;
  }
  scanf("%d",&k);
  sort(prex+1,prex+w+1);
  sort(prey+1,prey+w+1);
  int pre_x=unique(prex+1,prex+w+1)-prex-1;
  int pre_y=unique(prey+1,prey+w+1)-prey-1;
  n=pre_x;m=pre_y;
  sort(p+1,p+w+1,cmp);
  fu(i,1,w){
    p[i].x=lower_bound(prex+1,prex+n+1,p[i].x)-prex;
    p[i].y=lower_bound(prey+1,prey+m+1,p[i].y)-prey;
    v[p[i].y].push_back(i);
  }
  init();
  fu(i,1,n)sum[i]=0;fd(i,w,1)up[i]=sum[p[i].x],sum[p[i].x]++;
  fu(i,1,n)sum[i]=0;fu(i,1,w)down[i]=sum[p[i].x],sum[p[i].x]++;
  LL ans=0;
  fu(i,1,m){
    int len=v[i].size();
    fu(j,0,len-1){
      int id=v[i][j];
      add(p[id].x,c[up[id]][k]*c[down[id]+1][k]-c[up[id]+1][k]*c[down[id]][k]);
      if(j)ans+=c[j][k]*c[len-j][k]*query(p[v[i][j-1]].x+1,p[id].x-1);
    }
  }
  printf("%d",ans&2147483647);
  return 0;
}