先從簡單的離散型隨機變數看起

離散型隨機變數

P{X=ak}=pk,k=1,2,3,...,n
其中：∑i=1npi=1
那麼它的期望值是：E(X)=∑kakpk

以上都是中學數學知識，那麼到了高等數學的概率論與數理統計這門課才開始討論連續隨機變數的情況。

如果隨機變數是連續的，且它的概率密度函式是f(x)，那麼它的數學期望值是：

E(X)=∫∞−∞xf(x)dx
方差為：D(X)=E[(X−E(X))2]

正態分佈也是我們很熟悉的分佈情況了，高中大學數學都進行過學習討論：

正態分佈：

X∼N(μ,σ2)
概率密度函式為：p(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2

其中μ是期望值，σ

是標準差。

協方差

cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E(XY)−E(X)E(Y)其中X，Y為兩個隨機變數。

下面就要升級到高維正態分佈了：

多維高斯正態分佈：

N(x∣μ,Σ)=12πn|Σ|−−−−−−√exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))
符號同二位正態分佈的意義差不多，其中Σ是協方差矩陣，Σ−1協方差矩陣的逆。

高斯混合模型（GMM）概率密度函式：

p(x)=∑k=1Kp(k)p(x|k)=∑k=1KπkN(x|μk,Σk)其中∑i=1Kπi=1

這個式子可以這樣解釋，假設有一批資料X={X1,X2,...,Xn}，假設Xi是由高斯分佈生成的，而且這裡一共有K

個高斯分佈生成器，具體Xi對應的是哪個生成器是不知道的，而且每個生成器在混合模型中所佔的比例πi也是未知的，所以這些未知的東西全部都放在一起，那麼此時的分佈就是高斯混合分佈。

因為這裡面πk，μk，Σk都是未知的，所以我們首先要估計一下這幾個引數，這時候最大似然法就用上了。最大似然法就是使樣本點在估計的概率密度函式上的概率值最大。為了防止在計算過程中產生溢位現象，我們可以將目標函式取對數進行計算：

max∑i=1Nlogp(xi)，那麼最大化對數似然函式是：max

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