高斯混合模型（GMM）的EM演算法實現
在 聚類演算法K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut一文中我們給出了GMM演算法的基本模型與似然函式，在EM演算法原理中對EM演算法的實現與收斂性證明進行了詳細說明。本文主要針對如何用EM演算法在混合高斯模型下進行聚類進行程式碼上的分析說明。
- GMM模型：
每個 GMM 由 K 個 Gaussian 分佈組成，每個 Gaussian 稱為一個“Component”，這些 Component 線性加成在一起就組成了 GMM 的概率密度函式：
根據上面的式子，如果我們要從 GMM 的分佈中隨機地取一個點的話，實際上可以分為兩步：首先隨機地在這 K個Gaussian Component 之中選一個，每個 Component 被選中的概率實際上就是它的係數 pi(k) ，選中了 Component 之後，再單獨地考慮從這個 Component 的分佈中選取一個點就可以了──這裡已經回到了普通的 Gaussian 分佈，轉化為了已知的問題。
那麼如何用 GMM 來做 clustering 呢？其實很簡單，現在我們有了資料，假定它們是由 GMM 生成出來的，那麼我們只要根據資料推出 GMM 的概率分佈來就可以了，然後 GMM 的 K 個 Component 實際上就對應了 K 個 cluster 了。根據資料來推算概率密度通常被稱作 density estimation ，特別地，當我們在已知（或假定）了概率密度函式的形式，而要估計其中的引數的過程被稱作“引數估計”。
- 引數與似然函式：
現在假設我們有 N 個數據點，並假設它們服從某個分佈（記作 p(x) ），現在要確定裡面的一些引數的值，例如，在 GMM 中，我們就需要確定 影響因子pi(k)、各類均值pMiu(k) 和 各類協方差pSigma(k) 這些引數。 我們的想法是，找到這樣一組引數，它所確定的概率分佈生成這些給定的資料點的概率最大，而這個概率實際上就等於 ，我們把這個乘積稱作似然函式 (Likelihood Function)。通常單個點的概率都很小，許多很小的數字相乘起來在計算機裡很容易造成浮點數下溢，因此我們通常會對其取對數，把乘積變成加和 \sum_{i=1}^N \log p(x_i)，得到 log-likelihood function 。接下來我們只要將這個函式最大化（通常的做法是求導並令導數等於零，然後解方程），亦即找到這樣一組引數值，它讓似然函式取得最大值，我們就認為這是最合適的引數，這樣就完成了引數估計的過程。
下面讓我們來看一看 GMM 的 log-likelihood function ：
由於在對數函式裡面又有加和，我們沒法直接用求導解方程的辦法直接求得最大值。為了解決這個問題，我們採取之前從 GMM 中隨機選點的辦法：分成兩步，實際上也就類似於K-means 的兩步。
演算法流程：
估計資料由每個 Component 生成的概率（並不是每個 Component 被選中的概率）：對於每個資料 x_i 來說，它由第 k 個 Component 生成的概率為
其中N（xi | μk,Σk）就是後驗概率。
- 通過極大似然估計可以通過求到令引數=0得到引數pMiu，pSigma的值。具體請見這篇文章第三部分。
其中 N_k = \sum_{i=1}^N \gamma(i, k) ，並且 \pi_k 也順理成章地可以估計為 N_k/N 。
重複迭代前面兩步，直到似然函式的值收斂為止。
matlab實現GMM聚類程式碼與解釋：
說明：fea為訓練樣本資料，gnd為樣本標號。演算法中的思想和上面寫的一模一樣，在最後的判斷accuracy方面，由於聚類和分類不同，只是得到一些 cluster ，而並不知道這些 cluster 應該被打上什麼標籤，或者說。由於我們的目的是衡量聚類演算法的 performance ，因此直接假定這一步能實現最優的對應關係，將每個 cluster 對應到一類上去。一種辦法是列舉所有可能的情況並選出最優解，另外，對於這樣的問題，我們還可以用 Hungarian algorithm 來求解。具體的Hungarian程式碼我放在了資源裡，呼叫方法已經寫在下面函式中了。
注意：資源裡我放的是Kmeans的程式碼，大家下載的時候只要用bestMap.m等幾個檔案就好~
- gmm.m，最核心的函式，進行模型與引數確定。
[cpp] view plaincopy
function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
% ============================================================
% Expectation-Maximization iteration implementation of
% Gaussian Mixture Model.
%
% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
%
% - X: N-by-D data matrix.
% - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
% components or a K-by-D matrix indicating the
% choosing of the initial K centroids.
%
% - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
% component generating each point.
% - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
% MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
% MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
% MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
% ============================================================
% @SourceCode Author: Pluskid (http://blog.pluskid.org)
% @Appended by : Sophia_qing (http://blog.csdn.net/abcjennifer)
%% Generate Initial Centroids
threshold = 1e-15;
[N, D] = size(X);
if isscalar(K_or_centroids) %if K_or_centroid is a 1*1 number
K = K_or_centroids;
Rn_index = randperm(N); %random index N samples
centroids = X(Rn_index(1:K), :); %generate K random centroid
else % K_or_centroid is a initial K centroid
K = size(K_or_centroids, 1);
centroids = K_or_centroids;
end
%% initial values
[pMiu pPi pSigma] = init_params();
Lprev = -inf; %上一次聚類的誤差
%% EM Algorithm
while true
%% Estimation Step
Px = calc_prob();
% new value for pGamma(N*k), pGamma(i,k) = Xi由第k個Gaussian生成的概率
% 或者說xi中有pGamma(i,k)是由第k個Gaussian生成的
pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1); %分子 = pi(k) * N(xi | pMiu(k), pSigma(k))
pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K); %分母 = pi(j) * N(xi | pMiu(j), pSigma(j))對所有j求和
%% Maximization Step - through Maximize likelihood Estimation
Nk = sum(pGamma, 1); %Nk(1*k) = 第k個高斯生成每個樣本的概率的和，所有Nk的總和為N。
% update pMiu
pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X; %update pMiu through MLE(通過令導數 = 0得到)
pPi = Nk/N;
% update k個 pSigma
for kk = 1:K
Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
(diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
end
% check for convergence
L = sum(log(Px*pPi'));
if L-Lprev < threshold
break;
end
Lprev = L;
end
if nargout == 1
varargout = {Px};
else
model = [];
model.Miu = pMiu;
model.Sigma = pSigma;
model.Pi = pPi;
varargout = {Px, model};
end
%% Function Definition
function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
pMiu = centroids; %k*D, 即k類的中心點
pPi = zeros(1, K); %k類GMM所佔權重（influence factor）
pSigma = zeros(D, D, K); %k類GMM的協方差矩陣，每個是D*D的
% 距離矩陣，計算N*K的矩陣（x-pMiu）^2 = x^2+pMiu^2-2*x*Miu
distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ... %x^2, N*1的矩陣replicateK列
repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...%pMiu^2，1*K的矩陣replicateN行
2*X*pMiu';
[~, labels] = min(distmat, [], 2);%Return the minimum from each row
for k=1:K
Xk = X(labels == k, :);
pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
end
end
function Px = calc_prob()
%Gaussian posterior probability
%N(x|pMiu,pSigma) = 1/((2pi)^(D/2))*(1/(abs(sigma))^0.5)*exp(-1/2*(x-pMiu)'pSigma^(-1)*(x-pMiu))
Px = zeros(N, K);
for k = 1:K
Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1); %X-pMiu
inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
end
end
end
- gmm_accuracy.m呼叫gmm.m，計算準確率：
[cpp] view plaincopy
function [ Accuracy ] = gmm_accuracy( Data_fea, gnd_label, K )
%Calculate the accuracy Clustered by GMM model
px = gmm(Data_fea,K);
[~, cls_ind] = max(px,[],1); %cls_ind = cluster label
Accuracy = cal_accuracy(cls_ind, gnd_label);
function [acc] = cal_accuracy(gnd,estimate_label)
res = bestMap(gnd,estimate_label);
acc = length(find(gnd == res))/length(gnd);
end
end
- 主函式呼叫
gmm_acc = gmm_accuracy(fea,gnd,N_classes);
寫了本文進行總結後自己很受益，也希望大家可以好好YM下上面pluskid的gmm.m，不光是演算法，其中的矩陣處理程式碼也寫的很簡潔，很值得學習。
另外看了兩份東西非常受益，一個是pluskid大牛的《漫談 Clustering (3): Gaussian Mixture Model》，一個是JerryLead的EM演算法詳解，大家有興趣也可以看一下，寫的很好。