次小生成樹的學習
阿新 • • 發佈:2018-12-30
轉載:http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3290832.html
為什麼寫這個呢?因為那天聽到了這個詞,屬於MST的擴充套件……最小K度樹有空研究。 一.理論準備 需要讀者事先懂得prime演算法,不太瞭解的請看博主這一篇http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3286956.html,也需要讀者對DP瞭解一些。 先看一個結論:次小生成樹可由最小生成樹換一條邊得到,筆者認為很有必要搞清楚這一點,,否則對演算法理解不夠深入。 證明:咱換種方式去看待這個結論(一個生成樹可以通過換邊得到另一個生成樹),T是某一棵最小生成樹,T0是任一棵異於T的生成樹,通過變換T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T) 變成最小生成樹。所謂的變換是,每次把Ti中的某條邊換成T中的一條邊, 而且樹T(i+1)的權小於等於Ti的權。 看下面的具體步驟(一定要理解透徹)。 step 1. 在Ti中任取一條不在T中的邊uv. step 2. 把邊uv去掉,就剩下兩個連通分量A和B,在T中,必有唯一的邊u'v' 連結A和B。這是為什麼呢?因為生成樹中任意兩點間只有一條路徑(下面也要用這個),且必有一條。 step 3. 顯然u'v'的權比uv小 (prime演算法貪心的,否則,uv就應該在T中),把u'v'替換uv即得樹T(i+1)。 特別地:取T0為任一棵次小生成樹,T(n-1) 也就是次小生成樹且跟T差一條邊, 結論得證。 下面看具體演算法。 step 1. 先用prim求出最小生成樹T,在prim的同時,用一個矩陣maxd[u][v] 記錄 在T中連結任意兩點u,v的唯一的路中權值最大的那條邊的權值.(有些拗口),這是很容易做到的,因為prim是每次增加一個結點s, 在此需要儲存節點和其父節點,採用DP,則最大權值要麼是新加入的邊,要麼是父節點到起始點的採用DP算出來的距離,如下: //u是剛加入的點,不過還沒進入節點陣列,v是已經存在的點
//min是按prime新加入那條邊
maxd[v][u] = maxd[u][v] = max{min,maxd[father[u]][v]}//u是剛加入的點,不過還沒進入節點陣列,v是已經存在的點//min是按prime新加入那條邊maxd[v][u] = maxd[u][v] = max{min,maxd[father[u]][v]} 該步驟用時 O(V^2),就是prime演算法的耗時。 step 2. 列舉所有不在T中的邊uv, 加入邊uv則必然替換權為maxd[u][v]的邊,這樣才能保證次小。二.演算法實現 以POJ1679為例,判斷最小生成樹是否唯一(不唯一可能是重邊,不過一般在做題裡不可能,否則沒法建圖,另外就是一般情況了,看下圖)。 下面這三個圖都是MST,權值161。234
//頂點數100,看成了1000,一個MLE,改了立馬AC,嘿嘿
//這道題目,AC率很低
import java.util.Scanner;
public class POJ1679 {
static int maxn = 105;
static int[][] map = new int[maxn][maxn];
static int[][] maxd = new int[maxn][maxn];
static int[] father = new int[maxn];
static int[] dist = new int[maxn];
static boolean[] vis = new boolean[maxn];
static int n,m;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc= new Scanner(System.in);
int num = sc.nextInt();
int u,v,w;
while(num-->0) {
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=n; j++) {
if(i==j) {
map[i][j] = 0;
}else {
map[i][j] = 0x3f3f3f3f;
}
maxd[i][j] = -1;
}
}
for(int i=0; i<m; i++) {
u = sc.nextInt();
v = sc.nextInt();
w = sc.nextInt();
map[u][v] = w;
map[v][u] = w;
}
int ans = prime();
int min = 0x3f3f3f3f;
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=n; j++) {
boolean tag = i!=j&&map[i][j]!=0x3f3f3f3f
&&father[i]!=j&&father[j]!=i;
if(tag) {
if(min>map[i][j]-maxd[i][j]) {
min = map[i][j]-maxd[i][j];
}
}
}
}
if(0==min) {
System.out.println("Not Unique!");
}else {
System.out.println(ans);
}
}
}
private static int prime() {
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
dist[i] = map[1][i];
father[i] = 1;
vis[i] = false;
}
vis[1] = true;
//存放MST節點
int stack[] = new int[n+1];
int top = 0;
stack[top++] = 1;
for(int i=1; i<n; i++) {
int next = 1;
int min = 0x3f3f3f3f;
for(int j=1; j<=n; j++) {
if(!vis[j]&&min>dist[j]) {
next = j;
min = dist[j];
}
}
vis[next] = true;
ans += min;
//dp
for(int k=0; k<top; k++) {
maxd[next][stack[k]] = maxd[stack[k]][next]
= Math.max(min,maxd[father[next]][stack[k]]);
}
stack[top++] = next;
for(int t=1; t<=n; t++) {
if(!vis[t]&&dist[t]>map[next][t]) {
dist[t] = map[next][t];
father[t] = next;
}
}
}
return ans;
}
}
作者:張朋飛
出處:http://www.cnblogs.com
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