本文主要對各種時間序列模型及其特徵做了一個歸納總結，以便查詢瞭解。
符號說明：
變數： $x,y$
變數集： $X,Y$

X,Y
變數 $x$在 $t$時刻的值： $x_{}$

t x_t
引數： $\alpha, \beta$

自迴歸模型（Autoregressive model，AR）

自迴歸，顧名思義，就是用自己預測自己，即用同一變數 $x$之前的資訊 $\{x_1,x_2,\dots,x_{t-1}\}$來預測 $x$當前時刻 $x$的資訊 $x_t$，並假設他們是線性關係。

定義

$X_t =\sum_{i=1}^{p}\varphi X_{t-i}+\varepsilon_{t}+c\\ =\sum_{i=1}^{p}\varphi X_{t-i}+c$
其中， $\varepsilon_{t}$是均值為0，方差為 $\sigma^2$的隨機誤差值，假設 $\sigma$對於任何的 $t$都不變； $c$是常數項。

優缺點

優點：所需的資料或資訊不多，只用自身來預測自身；
缺點：必須具有自相關性；只能適用於預測與自身前期相關的現象。

移動平均模型（Moving average model，MA）

移動平均模型也被稱為移動平均過程，是一種常見的對單變數時間序列（univariate time series）建模的方法。它指出輸出變數線性依賴於當前值和不同隨機項的過去值。

定義

q階移動平均模型通常簡記為MA(q)：
$X_{t} = \varepsilon_{t}+\theta_{1}\varepsilon_{t-1}+\dots+\theta_{q}\varepsilon_{t-q}+\mu\\ =\varepsilon_{t}+\sum_{j=1}^{q}\theta_{j}\varepsilon_{t-j}+\mu$
其中， $\theta_{1},\dots,\theta_{q}$是序列的引數， $\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{t-q}$是白噪聲、隨機誤差項， $\mu$是序列的均值。
其也可以表示成：
$X_{t}=(1+\theta_{1}B+\dots+\theta_{q}B^{q})\varepsilon_{t}+\mu$

自迴歸滑動平均模型（Autoregressive moving average model，ARMA）

自迴歸滑動平均模型可以看成是由自迴歸模型和移動平均模型“混合”構成的弱平穩隨機過程。
當系統是一系列未觀察到的衝擊（MA部分）以及它自己行為的函式時，使用ARMA是合適的。例如，股票價格可能會受到基本資訊的衝擊，以及由於市場參與者而表現出的技術趨勢和均值迴歸效應。

定義

ARMA(p,q)表示 $p$階AR和 $q$階MA：
$X_t = \sum_{i=1}^{p}\varphi X_{t-i}+\varepsilon_{t}+\sum_{j=1}^{q}\theta_{j}\varepsilon_{t-j}+c$

差分迴歸移動平均模型（Autoregressive integrated moving average，ARIMA）

在統計、經濟學和時間序列分析中，ARIMA模型是ARMA模型的擴充套件，二者都是適用於時序資料更好地理解資料和預測序列中未來的點。ARIMA可以適用於資料非穩態的情況。

定義

ARIMA(p,d,q)中，AR是"自迴歸"， $p$為自迴歸項數；MA為"滑動平均"， $q$為滑動平均項數， $d$為使之成為平穩序列所做的差分次數（階數）。其定義為：
$\left (1-\sum_{i=1}^{p}\phi_{i}L^{i} \right)(1-L)^{d}X_{t}=\left(1+\sum_{i=1}^{q}\theta_{i}L^{i} \right)\varepsilon_{t}$

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