[NOIp2012] 國王遊戲（排序 + 貪心 + 高精度）
題意
給你兩個長為 \(n+1\) 的陣列 \(a,b\) ，你需要定義一個順序 \(p\) （\(p_0\) 永遠為 \(0\)）
能夠最小化
\[
\max_{i=1}^{n} \frac{\prod_{j = 0}^{i} a_{p_j}}{b_{p_i}}
\]
\(1 \le n \le 1000, 1 \le a, b \le 10^4\)
題解
開始把原來沒做完的 \(NOIp\) 題都水掉qwq
類似這種題都需要有個巧妙的排序方法，使得答案最小，其實可以大力找規律或者猜結論發現按 \(a_i \times b_i\) 排序是最優秀的。
我們嘗試推導這個結論。
其實我們發現只需要考慮相鄰兩個數如何交換才是最優的，因為任意排列都可以由交換相鄰兩個數得到。
假設當前兩個位置為 \(i, i+1\) ，記 \(\displaystyle p = \prod_{j = 0}^{i - 1}a_j\) 。
我們令 \(ans_0\) 為交換前的最大值，\(ans_1\) 為交換後的，那麼有
\[
\begin{cases}
ans_0 &= \max\{\frac{p}{b_i}, \frac{p \times a_i}{b_{i+1}}\} \\
ans_1 &= \max\{\frac{p}{b_{i+1}}, \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}}\}
\end{cases}
\]
因為有
\[
\forall i, a_i, b_i \ge 1
\]
不難發現有
\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \ge \frac{p}{b_{i+1}} \\ \displaystyle \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} \ge \frac{p}{b_i} \end{cases} \]
所以當 \(ans_1 \ge ans_0\) 也就是交換後不會更優，當且僅當
\[ \begin{aligned} \frac{p \times a_{i+1}}{b_{i}} &\ge \frac{p \times a_i}{b_{i+1}} \\ a_{i + 1} \times b_{i + 1} &\ge a_i \times b_i \end{aligned} \]
所以我們不難發現當 \(a_i \times b_i\) 升序的時候是最優的。
然後答案需要用高精度儲存，但是我不想寫。。。（用 \(python\) 水過了2333）
考試時候應該還是會頭鐵寫高精度的。。
總結
對於重排序列使得一些要求的東西最優的時候，可以考慮不等式推導。
然後也不需要考慮相隔很遠的兩個數，可以考慮相鄰兩個數，結論也是一樣的，因為交換相鄰兩個數也可以使得序列排序。
程式碼
教你 \(17\) 行 \(python3\) 程式碼水過2333
n = (int)(input())
a, b = map(int, input().split())
array = [[0] * 2] * n
for i in range(0, n):
array[i] = list(map(int, input().split()))
def Cmp(elem):
return elem[0] * elem[1]
array.sort(key = Cmp)
ans = 0
tot = a
for i in range(0, n):
ans = max(ans, tot // array[i][1])
tot = tot * array[i][0]
print(ans)