論文題目：Factorizing Personalized Markov Chains for Next-Basket Recommendation

Factorizing Personalized Markov Chains for Next-Basket Recommendation

矩陣分解（MF）和馬爾可夫鏈（MC）是推薦系統常用的兩種方法。矩陣分解通過將觀測到的專案-使用者矩陣進行分解模擬使用者的喜好，而馬爾科夫鏈通過觀察使用者近期的行為（關於專案的時間序列）來預測下一個時間點的行為。作者將這兩種方法結合在了一起。對於每一個使用者，我們需要學習其對應的一個轉移矩陣，所以我們需要一個三維矩陣來記錄這些資訊。但是由於所觀察到的這部分資訊非常有限，我們用成對的互動模型來分解這個三維矩陣。為了學習模型的引數，我們引入了貝葉斯個性化排序的框架（詳見

論文閱讀BPR）來處理資料。

這篇文章解決的問題中，每一個使用者對專案的時間行為都是已知的，例如：使用者的購買記錄等。在這種情況下，同一時間可能會有很多不同的物品被購買，我們用“a set/basket”來定義這些物體。我們的任務就是給使用者推薦下一次瀏覽網站時他想買的物品。

Contributions

1、我們引入了基於馬爾可夫鏈的個性化轉移矩陣，這使得我們可以同時捕捉時間資訊和長期的使用者喜好資訊。
2、為了解決轉移矩陣的稀疏問題，我們引入了矩陣分解模型，可以減少引數並改善表現結果。
3、我們的實驗證明我們的模型表現優於其他基於時間序列資訊的模型。

符號說明

同一時間，使用者可能會買多個物品，這些物體的集合稱為“一個 basket”。我們可以用下圖來表示：

假設 U 為所有使用者的集合，I 為所有專案的集合。對於每一個使用者 u，他的購買歷史用 Bu 來表示，Bu:=(Bu1,⋯,Butu−1)，其中，But⊆I 。所有使用者的購買歷史為 B:={Bu1,⋯,Bu|U|}。

專案推薦任務可以表述為使用者 u 第 t 個時間建立個性化的排名：

<u,t⊂I2

利用這個排名，我們可以為使用者推薦排名前 n 的物體。

Factoring Personalized Markov Chains (FPMC)

Personalized Markov Chains for Sets

首先，我們介紹非個性化馬爾可夫鏈的模型，然後運用最大似然估計（MLE）來求解引數，再將其擴充套件到個性化馬爾科夫鏈。

Markov Chains for Sets
非個性化馬爾可夫鏈模型即假設每一個使用者的轉移矩陣是相同的。而個性化推薦只是體現在將轉移矩陣應用於使用者的最後一次購買的物品，這些物體是不同的。
m 階馬爾可夫鏈的模型我們一般表示為：

p(Xt=xt|Xt−1=xt−1,⋯,Xt−m=xt−m)

-
Xt,⋯,Xt−m 是變數，xt,⋯,xt−m 是它們的實際取值，變數取值為所有的 basket B 中的元素。因此，我們的狀態空間的大小為 2|I|。

• 一個集合有n個元素，那麼它的子集共有：C0n+C0n+C0n+⋯+C0n=2n
• 對於集合 R，|R| 指集合 R 中元素的個數。

顯然，對於這麼大的狀態空間，馬爾科夫鏈的長度不宜設定過長。為了簡便，我們定義馬爾可夫鏈的階數 m=1。則，basket 轉移概率為：

p(Bt|Bt−1)

由於的狀態空間的大小為 2|I| 且 m=1，因此轉移矩陣的大小為 2|I|×2|I| 。可以看出，資料空間仍然很大，因此，我們對轉移矩陣 A 做出以下修改。

我們先來通過下面的圖有一個直觀的理解。

左邊是我們將 Figure1 中的 basket 用 |I| 維的二值向量表示出來。右邊是我們從這些資料中計算得到的轉移矩陣，# 列列出的是一共有幾組資料參與計算。我們來看一下計算過程。

例如，第三行，計算的是，如果前一時刻買了物品c，那麼下一時刻買不同的物品對應的概率是多少？我們可以使用的資料一共有三組，分別是：(a,b,c)→(b,c)、(b,c)→(a,b) 和 (c,e)→(e)。計算下一時刻每個物體出現的次數，我們可以得到：

a31=13=0.3,a32=23=0.7,a33=13=0.3,a34=0,a35=

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