圖的基本概念及表示

圖的基本概念

圖(graph)可視為一有序二元組G = (V,E), 其中V = {v1,v2,……,vn}為頂點集，V中的元素稱為頂點(vertex)，E = {e1,e2,……,en}稱為邊集，E中的元素成為邊(edge)。E中的每條邊e連線V中的兩個頂點，不妨用e = vi vj 來表示連線頂點vi和vj的邊。

有向圖：點對vi與vj是有序的，即邊是有方向的。
賦權圖：若給圖的每條邊賦以權(weight)，則G成為賦權圖。
簡單圖：既沒有環，也不存在兩條邊的兩個端點均相同的圖。
完全圖：任何兩個不同頂點之間都有邊相連的簡單圖。
無向圖是連通的：無向圖中從每一個頂點到其他頂點都存在一條路徑。

設v0v1v2^^^vn是一個頂點序列，其中v(i-1)vi表示一條邊，則該頂點序列構成G中的一條途徑(walk).
長度：途徑的長度一般為邊的條數，對於賦權圖，長度為通過的邊的權值之和。
跡：經過的邊都不相同的途徑稱為跡。
路：經過的頂點都不相同的途徑稱為路。
圈：除了起點和終點相同外，其他頂點均不相同的途徑稱為圈。

設G = (V,E)和G‘ = (V’,E’)是兩個圖，若V’⊆V且E’⊆E，則稱G‘為G的子圖。
滿足V’ = V的子圖成為生成子圖
G(V’)：若V‘⊆V ，以V’為頂點集，以G中的兩端點均在V‘中的邊組成的集合為邊集的子圖稱為G的由V’匯出的子圖，記為G(V’).
G\V’

圖的表示

我們考慮有向圖，無向圖可以類似表示。
①使用鄰接矩陣（一個二維陣列）
對於每條邊e = vi vj,我們令A[vi][vj] = 1,否則陣列元素為0（0表示頂點vi 與 vj 之間沒有邊相連). 若為有權圖，可以讓A[vi][vj]等於該權值，用很大或很小的權作為標記表示不存子的邊。
注意：該表示方法優點是非常簡單，但空間需求大，如果圖的邊很少，就會浪費大量的空間。因此最好用於稠密圖的情況。
②使用鄰接表