硬幣問題

Description

有n種硬幣，面值分別為 V1,V2,…,Vn。每種都有無限多。給定非負整數S，問可以選用多少個硬幣，使得面值之和恰好為S？輸出硬幣數目的最小值和最大值。 1<=n<=100,0<=S<=10000,1<=Vi<=S;

首先確定狀態也就是面值數額，最大值考慮的時候和巢狀矩形類似。

int d[10005];//用來儲存每種面值數額的值
int V[105];	 //用來存放不同種硬幣的面值。
void Initdp()
{
	memset(d,-1,sizeof(d); //這裡要初始化 d陣列。
	return ;
}
 

int dp(int S) //狀態是面值數額 S
{
	if(d[S]>=0) //為什麼要>=0 而不是大於0 因為當S為0的時候，d[0]=0，所以這種情況要考慮進來
		return d[s];
	d[s]=0;
	for(int i=0;i<n;i++) //n代表硬幣的種類數，每一種都嘗試一下
		if(V[i]<=S) //如果說當前這個硬幣沒有大於當前的面值額
			d[S]=max(d[S],dp(S-V[i])+1); //決策是 選擇這枚硬幣和不選擇這枚硬幣。
	return d[s];
}

最終程式碼：

#include <iostream>
#include
 
 <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int d[10005];//用來儲存每種面值數額的值
int V[105];	 //用來存放不同種硬幣的面值。
int n;
void Initdp()
{
	memset(d,-1,sizeof(d)); //這裡要初始化 d陣列。
	return ;
}
int dp(int S) //狀態是面值數額 S
{
	if(d[S]>=0) //為什麼要>=0 而不是大於0 因為當S為0的時候，d[0]=0，所以這種情況要考慮進來
		return d[S];
    d[S]=0;
	for(
 
int i=0;i<n;i++) //n代表硬幣的種類數，每一種都嘗試一下
		if(V[i]<=S) //如果說當前這個硬幣沒有大於當前的面值額
			d[S]=max(d[S],dp(S-V[i])+1); //決策是 選擇這枚硬幣和不選擇這枚硬幣。
	return d[S];
}
int main()
{
    Initdp(); //初始化d陣列
    cin>>n; // 輸入硬幣的種數
    for(int i=0;i<n;i++) //輸入每種硬幣的面值
        cin>>V[i];
    int S; //這個是面值額
    cin>>S;
    cout<<dp(S)<<endl; //最後輸出即可
    return 0;
}

但是又會發現，S有可能走不到 0 也就是說終點

例如 當S=8時 n=1 而 Vi=3時，這時候S就不能走到0 也就是無法找到任何一種方法使得S為0。
但是這個程式也會輸出，經驗證輸出的是2，但是這個是與題意相違背的。那麼我們應該怎麼做呢…

那麼也就可以轉換成這種形式（詳情參考紫書）

int dp(int S)
{
}
	int & ans=d[S];
	if(ans!=-1) return ans;
	ans=-(1<<30);
	for(int i=1;i<n;i+)
		if(S>=V[i])
			ans=max(ans,dp(S-V[i])+1);
	return ans;