題目描述

有n（n<=100000）頭奶牛在一個無窮長的小道上慢跑。每頭奶牛的起點不同，速度也不同。小道可以被分成多條跑到。奶牛隻能在屬於自己的跑道上慢跑，不允許更換跑道，也不允許改變速度。如果要慢跑t（t<=1000000000）分鐘，要保證在任何時候不會有同一跑道上的奶牛相遇，請問最少需要多少條跑道。奶牛開始在哪條跑道是可以隨意設定的。

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輸入格式：第一行兩個整數n，t。

接下來的n行，每行包含兩個整數，表示奶牛的位置和速度。位置是非負整數，速度是正整數。所有的奶牛的起點都不相同，按起點遞增的順序給出。
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最少的跑道數。

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5 3
0 1
1 2
2 3
3 2
6 1
 

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3

解題思路

要想要求出正確的答案，其實就必須要想到題目中的性質，打出合適的演算法。我們不看每一頭牛當前的速度與位置，因為這樣計算將會十分複雜，我們首先就必須要求出它們在最後的時候到達了哪裡，這樣，逆序的中途即會相遇。

那麼如何求出最少需要的跑道個數呢？考試的時候呢，我是這樣想的，每一個跑道都是上升的子序列，那麼就一定滿足條件，這樣求出最小，其實再想一想，如果求出了最長不上升子序列，不就可以得出答案了嗎？最長不上升子序列中的元素任意兩兩一定會相遇的。因此，它們都需要單獨一個跑道，而其他的呢就無所謂了。

因此，這道題就是求一個最長不上升子序列，相信這種DP題目大家都會，但樸素的DP演算法時間複雜度是N方的，此題是過不了的。那麼關鍵就是要看如何進行優化了。如果大家看過一些書籍，應該對於運用lower_bound函式進行二分優化的最長不下降子序列有一定印象。確實，這道題可以說就是運用二分進行優化。

二分要滿足單調性，因此我們需要排序。

之後，將陣列中的數一一進行二分，找到合適位置而放進去，保持陣列呈不上升。

這裡估計有人會有疑問了，為什麼這樣就真能保證數組合理呢？首先，最長肯定是對的，我們可以很輕鬆判斷出來，但是否真的存在這樣的序列呢？

我們給出簡單的一些資料進行討論 如（3 ， 2  ， 8） ，處理完後，就變成了（ 8 ， 2）。很顯然，這一種數列是不存在的。

但我們再看一下，它的長度並沒有變化。最長不下降子序列的長度的確是陣列的長度2。

那麼再在後面加一些資料？ （3 ， 2 ， 8 ，1） ， 處理完後，變成了 （ 8 ，2 ， 1）。這種數列更奇怪了，然而，答案卻還是這麼多。其實，將8放入隊頭，我們可以看出這可能是一個更有用的數字，因為它大，所以後面空間可能更大。而放入隊頭，雖然看起來不合理，但並不會改變答案的最優性質。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
   
#define LL long long
#define N 100005
   
struct node {
    long long  x;
    int id;
}a[N];
int n,len = 1; 
long long maxt , dp [N],t;
int read(){
    int f = 1 , x = 0;
    char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9'){
        if (s == '-')
            f = -1;
        s = getchar();
    }
    while (s >= '0' && s <= '9'){
        x = x * 10 + s - '0';
        s = getchar();
    }
    return f * x;
}
int solve(long long x){//二分求解
    int l = 1 ,r = len + 1;
    while (l + 1 < r){
        int mid = (l + r)/ 2;
        if (dp[mid] >= x){
            l = mid;
        }
        else
            r = mid;
    }
    if (dp[l] < x)
        return l;
    else
        return r;
}
int main(){
   // freopen("shuju.in","r",stdin);
    n = read();
    t = read();
    for (int i = 1;i <= n ;i ++ ){
        a[i].id = i;
        long long  t1 = read();
        long long  q = read();
        a[i].x = 1ll * t1 + 1ll *  q * t ;//求出終點
        maxt = max (a[i].x , maxt);//確定r範圍
    }
    dp[1] = a[1].x;
    for (int i = 2 ;i <= n; i ++ ){//將陣列每一個都進行處理
        if (dp[len] >= a[i].x) {
            dp[++ len] = a[i].x;
            continue;
        }
        else{   
            int j = solve(a[i].x);
            dp[j] = a[i].x;
            len = max(len,j);
        }
    }
    printf("%d",len);
}

總結

考試的時候，確實沒有看出這道題的性質，當時卻也是想到了最長不上升子序列，但總覺得這樣的做法不是最優，至於為什麼，我也不知道。。。考試的時候，我覺得這道題就像是遞迴求出每一個最長不下降子序列，其實如果我再細細想想的話，這道題不就是求一個最長不上升子序列嗎？主要還是被第一題困擾了，打亂了後面所有題的進度。