2. 程式人生 > >淺談Link-Cut Tree(LCT)

淺談Link-Cut Tree(LCT)

阿新 • • 發佈：2019-01-01

  • 0XFF 前言&概念

Link-Cut Tree 是一種用來維護動態森林連通性的資料結構，適用於動態樹問題。它採用類似樹鏈剖分的輕重邊路徑剖分，把樹邊分為實邊和虛邊，並用 Splay 來維護每一條實路徑。Link-Cut Tree 的基本操作複雜度為均攤O(logn），但常數因子較大，一般效率會低於樹鏈剖分。但是卻可以解決樹鏈剖分解決不了的問題(或者優化碼量) -----Menci dalao

動態樹LCT(link cut tree)是一個可以動態維護森林上各種資訊的東西(刪除查詢合併啥的都有吧)，原來的森林我們稱為原森林，裡面有實邊和虛邊，為啥有這兩種邊呢，首先LCT是用很多個splay維護這個森林的資訊，那麼因為splay本來就是個二叉樹，所以我們要將原森林”剖分”成很多個二叉樹並且用splay來維護它，用實邊連線起來的一棵樹就是原森林中的一棵樹，我們稱它為原樹。

這個Splay會有些特殊，它的關鍵字是節點在樹裡面的深度。

這棵原樹我們也不是直接用splay維護，而是按每個點在原樹中的深度為優先順序，將每個點以優先順序的中序遍歷丟到splay上。我們一般將原樹所對應的splay稱為輔助樹，原森林就對應一個輔助樹森林。
-----quhengyi11 dalao

請務必先將上文讀清楚，再繼續下面的閱讀。

Splay是輔助樹，閱讀時不要將主的和輔的搞混了。

顯然原樹中同一個深度的點是不可能在一個splay裡的，因此每個splay裡面就是維護了原樹中的一條鏈

Link-Cut Tree 準確的說是一個 Splay 森林。每棵 Splay

都用"虛邊"連結(下圖灰邊表示虛邊)，每棵 Splay 中的結點都用"實邊"連結起來(下圖用黑色表示實邊)。假如我們現在有一個栗子：(用紅色圈圈圈在一起的結點是一個 Splay 中的結點)

LCT

那麼現在每個結點都是一顆 Splay。

就像這樣：

LCT

如果我們將1,2連線起來的話。

那麼1,2就是同一個 Splay 中的節點了。

那麼現在的情況就是這樣：

LCT

相信你一定對此有些瞭解了吧。

  • 0X01 一些基本的定義

f[x]:結點x的爸爸(father)

v[x]:結點x的權值(value)

s[x]:結點x及它的子樹的權值和(sum)

r[x]

:結點x的翻轉情況(rev)

ch[x][0/1]:結點x的左/右兒子

  • 0X02 一些操作

    Link-Cut Tree 支援以下幾種基本操作：

Access(x)：將x到根節點的路徑上全部變成實邊，並棄掉自己所有的兒子(變成虛邊：認父不認子)(每一個父結點對於自己的每個子結點只有一條實邊)

findroot(x):找出x所在的原樹的根結點(實際上就是上圖的一號點)

makeroot(x):這個操作的意思是將x點變為原樹的根節點

split(x,y):將x,y搞在一個 Splay 中，以方便操作。

link(x,y):將x和y所在原樹合併起來(連結)

cut(x,y):將x和y所在原樹拆開(切斷)

  • Access(x):

    這是最基礎的操作，意思是將點x到原樹中根結點root之間的鏈丟到一個輔助樹splay裡面

比方說，現在森林的狀態是這樣的：

LCT

我們的 x 現在等於6。執行 Access(6) 。

那麼就會將{1-3，3-6}變成實邊，1-2變成虛邊，假設6有一兒子n，之間用實邊連著，那麼這條邊也將變成虛邊。

每次將$x$點 splay 到當前所在輔助樹的根節點，將它的右兒子更新為上一個$x$，然後令$x$跳到它的父節點，特別的，第一個$x$的右兒子設為0(NULL)。

Q：為什麼是右兒子而不是左兒子呢？

A：因為f[x]的深度小於x，而在Splay裡面f[x]是x的爸爸，所以x在Splay中是f[x]的右兒子。

所以就變成了這樣：

LCT

我們將$x$旋轉到輔助樹的根節點，也就是將當前原樹這條鏈上深度小於$x$(在$x$上面的點)丟到了$x$的左子樹上，將$x$的右子樹設為上一個$x$點相當於將$x$原來的右子樹丟到了新的 splay 裡面(而它們之間用虛邊相連)，並且將上一段鏈連線起來。

現在就可以了。這棵新 Splay 中只有這條鏈上的結點，沒有其他任何的結點。如果我們指定要這三個結點同時進行操作，可以直接下傳懶標記到這三個結點組成的 Splay 的根結點哦!到後面Splay的時候就可以直接下傳跟新結點資訊了。

總體過程：

LCT

虛邊：兒子認父，父不認子

實邊：兒子認父，父也認子

用FlashHu大佬的話來說，就是四步：

1.轉到根。

2.換兒子。

3.更新資訊。

4.當前操作點切換為輕邊所指的父親，轉1。

程式碼實現：

inline void Access(int x){
      for(register int y=0;x;y=x,x=f[x]){
            Splay(x);//轉到所在Splay的根節點
            ch[x][1]=y;//認兒子了
            pushup(x);//兒子有變化，更新
      }
}

  • findroot(x):

  • 首先要明白：
  • 根節點是的深度最小的

我們可以通過x向上找，用 Access 操作可以將x和x的根結點搞到一個 Splay 裡。

又因為有BST的性質：x的左子樹所有結點的權值 < x < x右子樹所有結點的權值。

而我們又知道，在執行完 Access 操作後，這課 Splay 裡面的結點權值最大的(深度最大的)就是x。

於是我們可以將x Splay 到這棵 Splay 的根結點，那麼現在最左邊的節點便是這課樹的根結點了。

程式碼實現：

inline int findroot(int x){
      Access(x);//Access將x和根結點搞到同一個Splay中
      Splay(x);//轉到Splay的根結點
      while(ch[x][0])pushdown(x),x=ch[x][0];//不斷的找左兒子&更新節點資訊
      return x;//最左邊的就是根結點了。
}

  • makeroot(x):

    將x到根結點的路徑上的點全部翻轉(即x變成了根節點)

具體操作是我們先將x點與原樹中的根打通一條鏈，那麼現在它們就在同一棵輔助樹裡面了，我們發現x一定是在它所在的輔助樹的中序遍歷的最後一個的(因為它是這條鏈上最深的點)，我們把x點 splay 到輔助樹的根上，那麼x顯然是沒有右子樹的，我們要實現將x移到原樹的根上，也就是將x到根的這條鏈的深度全部翻轉一遍，在輔助樹上的體現就是將整棵樹翻轉一遍，我們可以寫個翻轉標記來減少複雜度。

程式碼實現：

inline void filp(int x){//Splay普通區間翻轉
      swap(ch[x][0],ch[x][1]);r[x]^=1;
} 
inline void makeroot(int x){
      Access(x);
      Splay(x);
      filp(x);//懶標記&翻轉區間
}

  • split(x,y)

這個操作是將x到y之間的那條路徑丟到一棵輔助樹裡，並且這棵輔助樹以y節點為根(方便處理資訊)。

Splay 維護的是原樹中的一條鏈，我們不能保證x,y會在同一條鏈裡。

所以我們可以先把x變成原樹的根節點(這下子Access(y)就會將x到y之間的所有節點丟到一個 Splay 中了)。

最後如上面所講的，最後來一個 Splay(y) 就大功告成了。

程式碼實現：

inline void split(int x,int y){
      makeroot(x);Access(y);Splay(y);
}

  • link(x,y):

    將x和y所在原樹合併起來(連結)

首先將x點丟到原樹的根，然後去找找y的根是不是x，如果不是說明x,y不在一個原樹內，我們將x的父節點設為y，也就相當於從y到x連了一條虛邊。

程式碼實現：

inline void link(int x,int y){
      makeroot(x);//丟到根
      if(findroot(y)!=x)f[x]=y;//連結一條虛邊
//注意因為是虛邊，所以不能認兒子
}

  • cut(x,y):

    首先我們先把x,y之間的那條邊用split(x,y)拎出來，因為x,y是相鄰的，所以y的左兒子一定是x，將它們的父子關係消滅掉即可。

消滅父子關係時一定滿足以下條件：

1.x和y在一個原樹裡(不在一個樹裡面往哪兒切啊)

2.split之後x是y的左兒子

3.x的右兒子是空的(保證了中序遍歷中y緊跟在x的後面，即深度相鄰)(x的權值(深度)只比y小1，而x又正好是直接連著y的，所以我們無法再找到 >x 而又 <y 的整數了)

程式碼實現：

inline void cut(int x,int y){
      split(x,y);
      if(findroot(y)==x&&f[x]==y&&!ch[x][1]){//判斷各種條件
            f[x]=ch[y][0]=0;//徹底切斷關係
            pushup(y);//兒子變了，更新
      }return;
}

  • 0X03 Splay的改動：

  • 旋轉的改動：

這裡需要注意一下，如果x的父親節點的父親節點y已經不在當前的這棵輔助樹上，只需要連單向邊(也就是虛邊，認父不認子)，否則正常連就行，這裡要和普通的rotate區分開來。

做個對比：

現在的rotate(x):

inline void rotate(int x){
      int y=f[x],z=f[y],k=chk(x),v=ch[x][!k]; 
      if(get(y))ch[z][chk(y)]=x;ch[x][!k]=y,ch[y][k]=v;
      if(v)f[v]=y;f[y]=x,f[x]=z;pushup(y),pushup(x);
}

普通的rotate(x):

inline void rotate(int x){
      int y=f[x],z=f[y],k=chk(x),v=ch[x][!k]; 
      ch[z][chk(y)]=x;ch[x][!k]=y,ch[y][k]=v;
      f[v]=y;f[y]=x,f[x]=z;pushup(y),pushup(x);
}

  • Splay的改動

同樣要注意一下只能Splay到輔助樹的根節點，Splay之前需先下傳一下這一條鏈上需操作的所有的點，用棧來完成即可，可以手寫棧來減少常數。

inline void Splay(int x){
      int y=x,top=0;hep[++top]=y;
      while(get(y))hep[++top]=y=f[y];
      while(top)pushdown(hep[top--]);

      while(get(x)){//基本普通的Splay
            y=f[x],top=f[y];
            if(get(y))
                  rotate((ch[y][0]==x)^(ch[top][0]==y)?x:y);
            rotate(x);
      }pushup(x);return; 
}

  • 0X04 一些題目程式碼：

就是上文講的。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define RI register int
#define A printf("A")
#define C printf(" ") 
using namespace std;
const int N=3e5+2;
template <typename Tp> inline void IN(Tp &x){
    int f=1;x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}int f[N],v[N],s[N],r[N],hep[N],ch[N][2];
inline int get(int x){
    return ch[f[x]][0]==x||ch[f[x]][1]==x;
}
inline void pushup(int x){
    s[x]=s[ch[x][1]]^s[ch[x][0]]^v[x];
}
inline void filp(int x){
    swap(ch[x][0],ch[x][1]);r[x]^=1;
} 
inline void pushdown(int x){
    if(!r[x])return;r[x]=0;
    if(ch[x][0])filp(ch[x][0]);
    if(ch[x][1])filp(ch[x][1]);
} 
inline void rotate(int x){
    int y=f[x],z=f[y],k=ch[y][1]==x,v=ch[x][!k]; 
    if(get(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;ch[x][!k]=y,ch[y][k]=v;
    if(v)f[v]=y;f[y]=x,f[x]=z;pushup(y);
}
inline void Splay(int x){
    int y=x,top=0;hep[++top]=y;
    while(get(y))hep[++top]=y=f[y];
    while(top)pushdown(hep[top--]);
    while(get(x)){
        y=f[x],top=f[y];
        if(get(y))
           rotate((ch[y][0]==x)^(ch[top][0]==y)?x:y);
        rotate(x);
    }pushup(x);return; 
}
inline void Access(int x){
    for(register int y=0;x;x=f[y=x])
       Splay(x),ch[x][1]=y,pushup(x);
}
inline void makeroot(int x){
    Access(x);Splay(x);filp(x);
}
inline int findroot(int x){
    Access(x);Splay(x);
    while(ch[x][0])pushdown(x),x=ch[x][0];
    return x;
}
inline void split(int x,int y){
    makeroot(x);Access(y);Splay(y);
} 
inline void link(int x,int y){
    makeroot(x);if(findroot(y)!=x)f[x]=y;
}
inline void cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x&&f[x]==y&&!ch[x][1]){
        f[x]=ch[y][0]=0;pushup(y);
    }return;
}int n,m,x,y,op;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&v[i]); 
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==0)split(x,y),printf("%d\n",s[y]);
        else if(op==1)link(x,y);
        else if(op==2)cut(x,y);
        else Splay(x),v[x]=y;
    }return 0;
}

  • [SDOI2008]洞穴勘測

分析：題目只要求link(有一條新道路==連線)和cut(道路被摧毀了==cut)以及判斷連通性(直接findroot，一樣的話那麼就是聯通的)

就是LCT的板子，真的沒那麼難。

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define RI register int
#define A printf("A")
#define C printf(" ") 
using namespace std;
const int N=2e5+2;
template <typename Tp> inline void IN(Tp &x){
    int f=1;x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}int n,m,f[N],r[N],hep[N],ch[N][2];
inline int get(int x){return ch[f[x]][0]==x||ch[f[x]][1]==x;}
inline void filp(int x){swap(ch[x][0],ch[x][1]);r[x]^=1;} 
inline void pushdown(int x){
    if(!r[x])return;r[x]=0;
    if(ch[x][0])filp(ch[x][0]);
    if(ch[x][1])filp(ch[x][1]);
}
inline void rotate(int x){
    int y=f[x],z=f[y],k=ch[y][1]==x,v=ch[x][!k]; 
    if(get(y))ch[z][ch[z][1]==y]=x;ch[x][!k]=y,ch[y][k]=v;
    if(v)f[v]=y;f[y]=x,f[x]=z;return; 
}
inline void Splay(int x){
    int y=x,top=0;hep[++top]=y;
    while(get(y))hep[++top]=y=f[y];
    while(top)pushdown(hep[top--]);
    while(get(x)){
        y=f[x],top=f[y];
        if(get(y))
           rotate((ch[y][0]==x)^(ch[top][0]==y)?x:y);
        rotate(x);
    }return; 
}
inline void Access(int x){
    for(register int y=0;x;x=f[y=x])
       Splay(x),ch[x][1]=y;
}
inline void makeroot(int x){
    Access(x);Splay(x);filp(x);
}
inline int findroot(int x){
    Access(x);Splay(x);
    while(ch[x][0])pushdown(x),x=ch[x][0];
    return x;
}
inline void split(int x,int y){
    makeroot(x);Access(y);Splay(y);
} 
inline void link(int x,int y){
    makeroot(x);if(findroot(y)!=x)f[x]=y;
}
inline void cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x&&f[x]==y&&!ch[x][1]){
        f[x]=ch[y][0]=0;
    }return;
}char op[16];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int x,y,i=1;i<=m;++i){
        scanf("%s%d%d",op,&x,&y);
        if(op[0]=='C')link(x,y);
        else if(op[0]=='D')cut(x,y);
        else if(op[0]=='Q'){
            if(findroot(x)==findroot(y))printf("Yes\n");
            else printf("No\n");
        }   
    }return 0;
}

再推存一道題目:P1501 [國家集訓隊]Tree II

這道題目主要就是懶標記的運用，建議在做這一道題之前先去做一做線段樹的模板2，其實道理差不多，相通的，並不難。(講乘法標記的正確下傳方法弄到Splay的下傳上即可)

當然這道題我也附上題解：題解 P1501【[國家集訓隊]Tree II】(Link-Cut-Tree)

相關推薦

淺談Link-Cut Tree(LCT)

0XFF 前言&概念 Link-Cut Tree 是一種用來維護動態森林連通性的資料結構，適用於動態樹問題。它採用類似樹鏈剖分的輕重邊路徑剖分，把樹邊分為實邊和虛邊，並用 Splay 來維護每一條實路徑。Link-Cut Tree 的基本操作複雜度為均攤O(logn），但常數因子較大

洛谷P3690 [模板] Link Cut Tree [LCT]

con radi 復制 blank clas microsoft 博客 push () 　　題目傳送門 Link Cut Tree 題目背景 動態樹 題目描述 給定n個點以及每個點的權值，要你處理接下來的m個操作。操作有4種。操作從0到3編號。點從1到n編號。

bzoj 3282 Link Cut Tree (LCT)

printf algorithm tdi bsp for std main pac getchar 題目大意：維護一個森林，支持邊的斷，連，修改某個點的權值，求樹鏈所有點點權的異或和 洛谷P3690傳送門 搞了一個下午終於明白了LCT的原理 1 #include <

動態樹 之 Link-Cut Tree (LCT)

自此 Frocean 不想搞資料結構了(當然熟練一下LCT還是要的) 暫時是夠用的了 2017年9月 初三 退出腐敗界潛心搞OI 當然已經欠得很多了 2018年4月 當時剛學完線段樹 然後總是聽見機房dalao們喊樹剖 於是去找樹剖題 順便請教了某dalao 然後該dalao看

Link-Cut Tree(LCT) 模板總結 & 水題/模板題 動態樹

虛擬碼解釋LCT模板，下面題目有C++模板。 splay::push_up i: // 維護資料     // 舉個例子     i.sum = i.left_child.sum + i.right_child.sum splay::push_down i: // 下傳翻轉

luoguP3690 【模板】Link Cut Tree （動態樹）[LCT]

格式 %d getch logs cstring name flag -1 處理 題目背景 動態樹 題目描述 給定Ｎ個點以及每個點的權值，要你處理接下來的Ｍ個操作。操作有４種。操作從０到３編號。點從１到Ｎ編號。 ０：後接兩個整數（ｘ，ｙ），代表詢問從ｘ到ｙ的路徑上的

以 BZOJ 2002 為例學習有根樹LCT(Link-Cut Tree)

接下來 int 操作 sel com char 如何實現 etc 慢慢 以BZOJ 2002 彈飛綿羊為例學習有根樹LCT(Link-Cut Tree) 註：本文非常簡單，只涉及有根樹LCT，對於無根樹，LCT還有幾個本文沒有提到的操作，以後慢慢更新 =v= 知識儲備

【學習筆記】LCT link cut tree

oot 提取 安利 IV ace -- CA roo 自己 大概就是供自己復習的吧 1、 細節講解 安利兩篇blog： Menci 非常好的講解與題單 2、模板 把 $ rev $ 和 $ pushdown $ 的位置記清 #

（持續更新）C++ LCT(Link-cut-tree) 動態樹 總結

發現 虛線 tchar 持續更新 ces father img reverse new 準備知識：樹剖&Splay 一、理解LCT的工作原理 先看一道例題： 讓你維護一棵給定的樹，需要支持下面兩種操作： Change x val: 令x點的點權變為val Que

LCT(link cut tree) 動態樹

技術分享 spa turn ++ 知識點 操作 ini pla mda 模板參考：https://blog.csdn.net/saramanda/article/details/55253627 幾個知識點： 1、LCT中用Splay維護鏈，這些Splay叫做&ldqu

LCT（Link Cut Tree）總結

概念、性質簡述 首先介紹一下鏈剖分的概念鏈剖分，是指一類對樹的邊進行輕重劃分的操作，這樣做的目的是為了減少某些鏈上的修改、查詢等操作的複雜度。目前總共有三類：重鏈剖分，實鏈剖分和並不常見的長鏈剖分。 重鏈剖分 實際上我們經常講的樹剖，就是重鏈剖分的常用稱呼。對於每個點，選擇最大的子樹，將這條連邊劃分為重

LUOGU P3690 【模板】Link Cut Tree （lct）

傳送門 解題思路 　　\(lct\)就是基於實鏈剖分，用\(splay\)來維護每一條實鏈，\(lct\)的維護物件是一棵森林。\(lct\)支援很多神奇的操作： \(1、\) \(access\)：這是\(lct\)的核心操作，就是將一個點與根打通，就是把路徑上的所有邊變成實邊，具體就是轉到根，換兒子

2018.10.07 洛谷P3690 【模板】Link Cut Tree （lct）

傳送門 lct模板題。 學習了新姿勢： 判斷一條邊是否已經存在的方法。 感覺其它都跟洞穴勘探差不多。 程式碼： #include<bits/stdc++.h> #define N 30000

LCT（Link-Cut Tree）詳解（蒟蒻自留地）

 最近自學了LCT，發現網上的資料講解不是很全面，像我這樣的蒟蒻一時半會根本理解不了。我弄了很久總算是理解了LCT，打算總結一下LCT的基本操作，還請諸位神牛來找找茬。 如果你還沒有接觸過LCT，你

動態樹 LCT（Link-Cut-Tree）--入門教程

什麼是LCT（Link-Cut-Tree） 根據楊哲先生的論文（QTREE），可以得知，動態樹問題是一類問題的統稱，而解決這種問題最常用到的資料結構就是LCT（Link-Cut-Tree）。 LCT的大體思想類似於樹鏈剖分中的輕重鏈剖分，輕重鏈剖分是處理出重

對LCA、樹上倍增、樹鏈剖分（重鏈剖分&長鏈剖分）和LCT（Link-Cut Tree）的學習

LCA what is LCA & what can LCA do ，即最近公共祖先 在一棵樹上，兩個節點的深度最淺的公共祖先就是LCALCALCA （自己可以是自己的祖先） 很簡單，我們可以快速地進入正題了 下圖中的樹，444和555的LCALCA

BZOJ 2631 tree 動態樹(Link-Cut-Tree)

數據 val string sta root 樹形 () print access 題目大意：維護一種樹形數據結構。支持下面操作： 1.樹上兩點之間的點權值+k。 2.刪除一條邊。添加一條邊，保證加邊之後還是一棵樹。 3.樹上兩點之間點權值*k。 4.詢問樹上兩點時間點

bzoj4764: 彈飛大爺 link-cut-tree

target cnblogs else pre ace 奇怪 using 寫法 splay 題目傳送門 這道題啊 調了一個晚上 因為寫的是一個有根樹和n個基環的寫法 所以寫得很奇怪..... 最後發現單獨處理樹的時候不能隨意改變S（就是原來的根）不然size會出錯....

【BZOJ3669】【Noi2014】魔法森林（Link-Cut Tree）

沒有 力量 表示 cto ota code 描述 queue str 【BZOJ3669】【Noi2014】魔法森林（Link-Cut Tree） 題面 題目描述 為了得到書法大家的真傳，小 E 同學下定決心去拜訪住在魔法森林中的隱 士。魔法森林可以被看成一個包含 n 個節

【BZOJ2816】【ZJOI2012】網絡（Link-Cut Tree）

max 三種 ++i error 如果 描述 信息 logs fat 【BZOJ2816】【ZJOI2012】網絡（Link-Cut Tree） 題面 題目描述 有一個無向圖G，每個點有個權值，每條邊有一個顏色。這個無向圖滿足以下兩個條件： 對於任意節點連出去的邊中，相同顏