邊分為實邊和虛邊，實邊包含在Splay中，而虛邊總是由一棵Splay指向另一個節點（指向該Splay中中序遍歷最靠前的點在原樹中的父親）。
                      因為性質2，當某點在原樹中有多個兒子時，只能向其中一個兒子拉一條實鏈（只認一個兒子），而其它兒子是不能在這個Splay中的。
                      那麼為了保持樹的形狀，我們要讓到其它兒子的邊變為虛邊，由對應兒子所屬的Splay的根節點的父親指向該點，而從該點並不能直接訪問該兒子（認父不認子）。

各種操作

access(x)

LCT核心操作，也是最難理解的操作。其它所有的操作都是在此基礎上完成的。
因為性質3，我們不能總是保證兩個點之間的路徑是直接連通的（在一個Splay上）。
access即定義為打通根節點到指定節點的實鏈，使得一條中序遍歷以根開始、以指定點結束的Splay出現。
所以還是來幾張圖吧。
下面的圖片參考YangZhe的論文
有一棵樹，假設一開始實邊和虛邊是這樣劃分的（虛線為虛邊）

那麼所構成的LCT可能會長這樣（綠框中為一個Splay，可能不會長這樣，但只要滿足中序遍歷按深度遞增（性質1）就對結果無影響）

現在我們要access(N)，把A−N的路徑拉起來變成一條Splay。
因為性質2，該路徑上其它鏈都要給這條鏈讓路，也就是把每個點到該路徑以外的實邊變虛。
所以我們希望虛實邊重新劃分成這樣。

然後怎麼實現呢？
我們要一步步往上拉。
首先把splay(N)，使之成為當前Splay中的根。
為了滿足性質2，原來N−O的重邊要變輕。
因為按深度O在N的下面，在Splay中O在N的右子樹中，所以直接單方面將N的右兒子置為0（認父不認子）
然後就變成了這樣——

我們接著把N所屬Splay的虛邊指向的I（在原樹上是L的父親）也轉到它所屬Splay的根，splay(I)。
原來在II下方的重邊I−K要變輕（同樣是將右兒子去掉）。
這時候I−L就可以變重了。因為L肯定是在I下方的（剛才L所屬Splay指向了I），所以I的右兒子置為N，滿足性質1。
然後就變成了這樣——

I指向H，接著splay(H)，H的右兒子置為I。

H指向A，接著splay(A)，A的右兒子置為H。

A−N的路徑已經在一個Splay中了，大功告成！
程式碼其實很簡單。。。。。。迴圈處理，只有四步——

1. 轉到根；
2. 換兒子；
3. 更新資訊；
4. 當前操作點切換為輕邊所指的父親，轉1

inline void access(int x){
    for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
        splay(x),c[x][1]=y,pushup(x);//兒子變了，需要及時上傳資訊
}

makeroot(x)

只是把根到某個節點的路徑拉起來並不能滿足我們的需要。更多時候，我們要獲取指定兩個節點之間的路徑資訊。
然而一定會出現路徑不能滿足按深度嚴格遞增的要求的情況。根據性質1，這樣的路徑不能在一個Splay中。
Then what can we do?
makeroot定義為換根，讓指定點成為原樹的根。
這時候就利用到access(x)和Splay的翻轉操作。
access(x)後xx在Splay中一定是深度最大的點對吧。
splay(x)後，x在Splay中將沒有右子樹（性質1）。於是翻轉整個Splay，使得所有點的深度都倒過來了，x沒了左子樹，反倒成了深度最小的點（根節點），達到了我們的目的。
程式碼

inline void pushr(int x){//Splay區間翻轉操作
    swap(c[x][0],c[x][1]);
    r[x]^=1;//r為區間翻轉懶標記陣列
}
inline void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    pushr(x);
}

關於pushdown和makeroot的一個相關的小問題詳見下方update（關於pushdown的說明）

findroot(x)

找x所在原樹的樹根，主要用來判斷兩點之間的連通性（findroot(x)==findroot(y)表明x,y在同一棵樹中）
程式碼：

inline int findroot(R x){
    access(x); splay(x);
    while(c[x][0])pushdown(x),x=c[x][0];
//如要獲得正確的原樹樹根，一定pushdown！詳見下方update（關於findroot中pushdown的說明）
    splay(x);//此處的問題詳見下方update（關於findroot中splay(x)的說明）
    return x;
}

同樣利用性質1，不停找左兒子，因為其深度一定比當前點深度小。

split(x,y)

神奇的makeroot已經出現，我們終於可以訪問指定的一條在原樹中的鏈啦！
split(x,y)定義為拉出x−y的路徑成為一個Splay（窩以y作為該Splay的根）
程式碼

inline void split(int x,int y){
    makeroot(x);
    access(y);splay(y);
}

x成為了根，那麼x到y的路徑就可以用access(y)直接拉出來了，將y轉到Splay根後，我們就可以直接通過訪問y來獲取該路徑的有關資訊

link(x,y)

連一條x−y的邊（窩使x的父親指向y，連一條輕邊）
程式碼

inline bool link(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)==x)return 0;//兩點已經在同一子樹中，再連邊不合法
    f[x]=y;
    return 1;
}

　如果題目保證連邊合法，程式碼就可以更簡單

inline void link(int x,int y){
    makeroot(x);
    f[x]=y;
}

cut(x,y)

將x−y的邊斷開。
如果題目保證斷邊合法，倒是很方便。
使xx為根後，y的父親一定指向x，深度相差一定是1。當access(y),splay(y)以後，x一定是y的左兒子，直接雙向斷開連線

inline void cut(int x,int y){
    split(x,y);
    f[x]=c[y][0]=0;
    pushup(y);//少了個兒子，也要上傳一下
}

　那如果不一定存在該邊呢？
充分利用好Splay和LCT的各種基本性質吧！
正確姿勢——先判一下連通性，再看看x,yx,y是否有父子關係，還要看xx是否有右兒子。
因為access(y)以後，假如y與x在同一Splay中而沒有直接連邊，那麼這條路徑上就一定會有其它點，在中序遍歷序列中的位置會介於x與y之間。
那麼可能x的父親就不是y了。
也可能x的父親還是y，那麼其它的點就在x的右子樹中，就像這樣

只有三個條件都滿足，才可以斷掉。

inline bool cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x||f[x]!=y||c[x][1])return 0;
    f[x]=c[y][0]=0;
    pushup(y);
    return 1;
}

　　如果維護了sizesize，還可以換一種判斷

inline bool cut(int x,int y){
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x||sz[y]>2)return 0;
    f[x]=c[y][0]=0;
    pushup(y);
}

　　解釋一下，如果他們有直接連邊的話，access(y)以後，為了滿足性質1，該Splay只會剩下x,y兩個點了。
反過來說，如果有其它的點，size不就大於2了麼？

其實，還有一些LCT中的Splay的操作，跟我們以往學習的純Splay的某些操作細節不甚相同。
包括splay(x),rotate(x),nroot(x)（看到許多版本LCT寫的是isroot(x)，但我覺得反過來會方便些）
這些區別之處詳見下面的模板題註釋。

update（關於findroot中pushdown的說明）

找根的時候，當然不能保證Splay中到根的路徑上的翻轉標記全放掉。
所以最好把pushdown寫上。
Candy巨佬的總結對pushdown問題有詳細的分析

makeroot(x);
if(findroot(y)==x)//後續省略

　　這樣好像沒出過問題，那應該可以證明是沒問題的（makeroot保證了x在LCT的頂端，access(y)+splay(y)以後，假如x,y在一個Splay裡，那x到y的路徑一定全部放完了標記）
導致很久沒有發現錯誤。。。。。。
另外提一下，假如LCT題目在維護連通性的情況中只可能出現合併而不會出現分離的話，其實可以用並查集哦！（實踐證明findroot很慢）
這樣的例子有不少，比如下面“維護鏈上的邊權資訊”部分的兩道題都是的。
甚至聽到Julao們說有少量題目還專門卡這個細節。。。。。。XZY巨佬的部落格就提到了

update（關於pushdown的說明）

pushdown和makeroot有時候會這樣寫，常數小一點

void pushdown(int x){
    if(r[x]){
        r[x]=0;
        int t=c[x][0];
        r[c[x][0]=c[x][1]]^=1;
        r[c[x][1]=t]^=1;
    }
}
void makeroot(int x){
    access(x);splay(x);
    r[x]^=1;
}

這種寫法等於說當x有懶標記時，x的左右兒子還是反的

再次update，發現這種問題還是可以避免的，若用這種pushdown，findroot可以寫，這樣寫就好啦

inline int findroot(int x){
    access(x);splay(x);
    pushdown(x);
    while(lc)pushdown(x=lc);
    splay(x);
    return x;
}

　　所以此總結以及下面模板裡的pushdown，常數大了一點點，卻是更穩妥、嚴謹的寫法

//pushr同上方makeroot部分
void