Codeforces123E. Maze【樹形dp】【概率dp】【證明題】
阿新 • • 發佈:2019-01-01
題目大意
一棵樹,上面的每個點都有一定概率成為起點和終點
從起點出發,隨機遊走,並按照下列規則統計count:
DFS(x) if x == exit vertex then finish search flag[x] <- TRUE random shuffle the vertices' order in V(x) // here all permutations have equal probability to be chosen for i <- 1 to length[V] do if flag[V[i]] = FALSE then count++; DFS(y); count++;
求count的期望
思路
首先來證明一個東西:
對於每個節點u,如果這個節點是終點,那麼他的貢獻是
\[ \sum_{(u,v)\in E}siz_v*sump_v \]
\(sump_v\)是子樹內每個節點作為起始節點的概率和
首先我們把一個以u為根子樹拿出來,對於其中的每一個點v
如果起始節點s在v的子樹內,v一定會被經過1次,貢獻\(p_s\)
如果s不在v的子樹內,v有\(\frac{1}{2}\)的概率會被經過,貢獻\(p_s*2*\frac{1}{2}=p_s\)
不被經過的貢獻是\(0\)
然後來證為為什麼有\(\frac{1}{2}\)的概率被經過
從s開始進入每個子樹,要麼遍歷完,要麼停下來
所以可以認為任何一個子樹在停下來之前被訪問的概率都是\(\frac{1}{2}\)
然後這題做完了。。。淚奔ing
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef double db; const int N = 1e5 + 10; int n, siz[N]; vector<int> g[N]; db p[N], q[N], sump = 0, sumq = 0, ans; void dfs(int u, int fa) { siz[u] = 1; for (auto v : g[u]) { if (v == fa) continue; dfs(v, u); siz[u] += siz[v]; p[u] += p[v]; ans += q[u] * siz[v] * p[v]; } ans += q[u] * (n - siz[u]) * (sump - p[u]); } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 1; i < n; i++) { int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); g[u].push_back(v); g[v].push_back(u); } for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%lf %lf", &p[i], &q[i]); sump += p[i], sumq += q[i]; } dfs(1, 0); printf("%.15lf", ans / (sump * sumq)); return 0; }