線性規劃

簡單的線性規劃（目標函式和約束都是線性函式）

R中常用lpSolve、Rglpk包來解決。lpSolve包的核心函式的lp(),lp.assign,lp.transport()依次解決簡單線性規劃、分配問題、生產計劃和交通運輸問題。用法：

簡單線性規劃

lp (direction = "min", objective.in, mat,dir,rhs, int.vec,binary.vec, all.int=FALSE, all.bin=FALSE)
# mat為係數矩陣 dir 約束的方向 rhs 約束的右端係數
#若為整數規劃，可通過int.vec=c(i)制定序號來設定，若全是可通過all.int
 
=TRUE實現。若為0-1規劃，則可以通過all.bin=TRUE來實現。

Rglpk包的函式Rglpk_solve_LP()也可以實現上述簡單線性規劃。用法：

Rglpk_solve_LP(obj, mat, dir, rhs, types = NULL, max = FALSE,control = list(), ...)
#max為最大值的邏輯引數 
#type 變數型別 B——0-1變數 I——正整數 C 正實數

分配問題

分配問題，此處以匈牙利問題為例，說明其在R中的實現
- lp.assign()的用法

lp.assign (mat,  "min", presolve = 0
 
, compute.sens = 0)
  #mat為係數矩陣
  #返回的是目標值，可以通過$solution來檢視具體的方案

• clue包下的solve_LSAP()

solve_LSAP(mat, maximum = FALSE)
#其返回的是具體的方案，若想看目標值，可以通過以下程式碼實現，
y<-solve_LSAP(mat)
sum(mat[cbinds(seq_along(y),y)]

例：有一份中文說明書，需要譯成日德俄英四種文字，分別有四個人來完成。每個翻譯所需時間不同。問怎樣分配任務可以使總的時間最小。

Mat<-matrix(c(6,7
 
,11,2,4,5,9,8,3,1,10,4,5,9,8,2),ncol=4,byrow=TRUE)
lp.assign(Mat)
 #結果
 #Success: the objective function is 15 
lp.assign(Mat)$solution
 #結果：
   [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    0    0    0    1
[2,]    1    0    0    0
[3,]    0    1    0    0
[4,]    0    0    1    0
 #使用solve_LSAP解決問題
library(clue)
y<-solve_LSAP(Mat)
sum(Mat[cbinds(seq_along(y),y)])
  #結果：
 Optimal assignment:
 1 => 4, 2 => 1, 3 => 2, 4 => 3

線性約束的非線性規劃問題

R中內建函式constrOptim函式專門求解約束的非線性規劃。

constrOptim(theta, f, grad, ui, ci, mu = 1e-04, control = list(),method = if(is.null(grad)) "Nelder-Mead" else "BFGS", outer.eps = 1e-05, ..., hessian = FALSE)
#theta 為初始值 ui 係數矩陣 ci=rhs
#所有不等式預設是“》=”

如香蕉函式

**f(x1,x2)=(1-x1)^2+100*(x2-x1^2)^2**

s.t:

**-3x1-4x2>=12**

**-x1+2x2>=-2**

**x1>=0;x2>=0**

程式碼：

constrOptim(theta=c(2,1),obj.f,gr.f,Mat,rhs)

非線性約束的非線性規劃

R中通過alabama包，Rsolnp(R_3.4.2上不能使用)。以下簡單介紹alabama包，其核心函式為constrOptim.nl(),用法：

constrOptim.nl(par, fn, gr = NULL,hin = NULL,...)
#hin為不等式約束，所有的約束需要轉化為“》=”

例:

min z=(1-x1^2)+100(x2-x1^2)^2

s.t: x1^2+x^2<=4 

     x1/x2>=2

library(alabama)
hin.f<-function(x){
    x1<-x[1]
    x2<-x[2]
    c(-x1^2-x2^2+4,x1/x2-2)
}
constrOptim.nl(par=c(1,0.3),obj.f,gr.f,hin.f)

整數約束的非線性規

可以通過優化演算法，如：遺傳演算法，蟻群等。

參考文獻：

資料科學中的R語言 李艦 肖凱（2015.3）