Dijkstra

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Dijkstra（迪傑斯特拉）演算法是典型的最短路徑路由演算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止。Dijkstra演算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。
Dijkstra演算法是很有代表性的最短路徑演算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，比如資料結構、圖論、運籌學等。

1、演算法思想
令G = （V，E）為一個帶權有向圖，把圖中的頂點集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合S（初始時S中只有源節點，以後每求得一條最短路徑，就將它對應的頂點加入到集合S中，直到全部頂點都加入到S中

）；第二組是未確定最短路徑的頂點集合U。在加入過程中，總保持從源節點v到S中各頂點的最短路徑長度不大於從源節點v到U中任何頂點的最短路徑長度。

2、演算法步驟
（1）初始化時，S只含有源節點；
（2）從U中選取一個距離v最小的頂點k加入S中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）；
（3）以k為新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離；若從源節點v到頂點u的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值是頂點k的距離加上k到u的距離；
（4）重複步驟（2）和（3），直到所有頂點都包含在S中。
具體圖例與演算法執行步驟：（就從A開始，到各節點的最短路徑

）。

具體執行步驟如下圖所示。

PS：圖片右下角是原作者的部落格地址。

3、演算法具體實現
演算法的具體實現如下所示。

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDgE 20

#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535
typedef int Status; /* Status是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如OK等 */
typedef struct
{
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}Mgraph;
typedef int Patharc[MAXVEX]; /* 用於儲存最短路徑下標的陣列 */
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; /* 用於儲存到各點最短路徑的權值和 */
void CreateMgraph(Mgraph *g)
{
int i, j;
/* printf("請輸入邊數和頂點數:"); */
g->numEdges=16;
g->numVertexes=9;
for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
{
g->vexs[i]=i;
}
for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
{
for ( j = 0; j < g->numVertexes; j++)
{
if (i==j)
g->arc[i][j]=0;
else
g->arc[i][j] = g->arc[j][i] = INFINITY;
}
}
g->arc[0][1]=1;
g->arc[0][2]=5;
g->arc[1][2]=3;
g->arc[1][3]=7;
g->arc[1][4]=5;
g->arc[2][4]=1;
g->arc[2][5]=7;
g->arc[3][4]=2;
g->arc[3][6]=3;
g->arc[4][5]=3;
g->arc[4][6]=6;
g->arc[4][7]=9;
g->arc[5][7]=5;
g->arc[6][7]=2;
g->arc[6][8]=7;
g->arc[7][8]=4;
for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
{
for(j = i; j < g->numVertexes; j++)
{
g->arc[j][i] =g->arc[i][j];
}
}
}
/* Dijkstra演算法，求有向網g的v0頂點到其餘頂點v的最短路徑P[v]及帶權長度D[v] */
/* P[v]的值為前驅頂點下標,D[v]表示v0到v的最短路徑長度和 */
void ShortestPath_Dijkstra(Mgraph g, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
int v,w,k,min;
int final[MAXVEX]; /* final[w]=1表示求得頂點v0至vw的最短路徑 */
/* 初始化資料 */
for(v=0; v<g.numVertexes; v++)
{
final[v] = 0; /* 全部頂點初始化為未知最短路徑狀態 */
(*D)[v] = g.arc[v0][v]; /* 將與v0點有連線的頂點加上權值 */
(*P)[v] = 0; /* 初始化路徑陣列P為0 */
}
(*D)[v0] = 0; /* v0至v0路徑為0 */
final[v0] = 1; /* v0至v0不需要求路徑 */
/* 開始主迴圈，每次求得v0到某個v頂點的最短路徑 */
for(v=1; v<g.numVertexes; v++)
{
min=INFINITY; /* 當前所知離v0頂點的最近距離 */
for(w=0; w<g.numVertexes; w++) /* 尋找離v0最近的頂點 */
{
if(!final[w] && (*D)[w]<min)
{
k=w;
min = (*D)[w]; /* w頂點離v0頂點更近 */
}
}
final[k] = 1; /* 將目前找到的最近的頂點置為1 */
/* 修正當前最短路徑及距離 */
for(w=0; w<g.numVertexes; w++)
{
/* 如果經過v頂點的路徑比現在這條路徑的長度短的話 */
if(!final[w] && (min+g.arc[k][w]<(*D)[w]))
{
/* 說明找到了更短的路徑，修改D[w]和P[w] */
(*D)[w] = min + g.arc[k][w]; /* 修改當前路徑長度 */
(*P)[w]=k;
}
}
}
}
int main(void)
{
int i,j,v0;
Mgraph g;
Patharc P;
ShortPathTable D; /* 求某點到其餘各點的最短路徑 */
v0=0;
CreateMgraph(&g);
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