#一 簡單k-近鄰演算法

    本文將從k-鄰近演算法的思想開始講起，使用python3一步一步編寫程式碼進行實戰訓練。並且，我也提供了相應的資料集，對程式碼進行了詳細的註釋。除此之外，本文也對sklearn實現k-鄰近演算法的方法進行了講解。實戰例項：電影類別分類、約會網站配對效果判定、手寫數字識別。

1.1 k-近鄰法簡介

    k近鄰法(k-nearest neighbor, k-NN)是1967年由Cover T和Hart P提出的一種基本分類與迴歸方法。它的工作原理是：存在一個樣本資料集合，也稱作為訓練樣本集，並且樣本集中每個資料都存在標籤，即我們知道樣本集中每一個數據與所屬分類的對應關係。輸入沒有標籤的新資料後，將新的資料的每個特徵與樣本集中資料對應的特徵進行比較，然後演算法提取樣本最相似資料(最近鄰)的分類標籤。一般來說，我們只選擇樣本資料集中前k個最相似的資料，這就是k-近鄰演算法中k的出處，通常k是不大於20的整數。最後，選擇k個最相似資料中出現次數最多的分類，作為新資料的分類。

    舉個簡單的例子，我們可以使用k-近鄰演算法分類一個電影是愛情片還是動作片。

電影名稱	打鬥鏡頭	接吻鏡頭	電影型別
電影1	1	101	愛情片
電影2	5	89	愛情片
電影3	108	5	動作片
電影4	115	8	動作片

表1.1 每部電影的打鬥鏡頭數、接吻鏡頭數以及電影型別

    表1.1就是我們已有的資料集合，也就是訓練樣本集。這個資料集有兩個特徵，即打鬥鏡頭數和接吻鏡頭數。除此之外，我們也知道每個電影的所屬型別，即分類標籤。用肉眼粗略地觀察，接吻鏡頭多的，是愛情片。打鬥鏡頭多的，是動作片。以我們多年的看片經驗，這個分類還算合理。如果現在給我一部電影，你告訴我這個電影打鬥鏡頭數和接吻鏡頭數。不告訴我這個電影型別，我可以根據你給我的資訊進行判斷，這個電影是屬於愛情片還是動作片。而k-近鄰演算法也可以像我們人一樣做到這一點，不同的地方在於，我們的經驗更"牛逼"，而k-鄰近演算法是靠已有的資料。比如，你告訴我這個電影打鬥鏡頭數為2，接吻鏡頭數為102，我的經驗會告訴你這個是愛情片，k-近鄰演算法也會告訴你這個是愛情片。你又告訴我另一個電影打鬥鏡頭數為49，接吻鏡頭數為51，我"邪惡"的經驗可能會告訴你，這有可能是個"愛情動作片"，畫面太美，我不敢想象。 (如果說，你不知道"愛情動作片"是什麼？請評論留言與我聯絡，我需要你這樣像我一樣純潔的朋友。) 但是k-近鄰演算法不會告訴你這些，因為在它的眼裡，電影型別只有愛情片和動作片，它會提取樣本集中特徵最相似資料(最鄰近)的分類標籤，得到的結果可能是愛情片，也可能是動作片，但絕不會是"愛情動作片"。當然，這些取決於資料集的大小以及最近鄰的判斷標準等因素。

1.2 距離度量

    我們已經知道k-近鄰演算法根據特徵比較，然後提取樣本集中特徵最相似資料(最鄰近)的分類標籤。那麼，如何進行比較呢？比如，我們還是以表1.1為例，怎麼判斷紅色圓點標記的電影所屬的類別呢？如圖1.1所示。

圖1.1 電影分類

    我們可以從散點圖大致推斷，這個紅色圓點標記的電影可能屬於動作片，因為距離已知的那兩個動作片的圓點更近。k-近鄰演算法用什麼方法進行判斷呢？沒錯，就是距離度量。這個電影分類的例子有2個特徵，也就是在2維實數向量空間，可以使用我們高中學過的兩點距離公式計算距離，如圖1.2所示。

圖1.2 兩點距離公式

    通過計算，我們可以得到如下結果：

• (101,20)->動作片(108,5)的距離約為16.55
• (101,20)->動作片(115,8)的距離約為18.44
• (101,20)->愛情片(5,89)的距離約為118.22
• (101,20)->愛情片(1,101)的距離約為128.69

    通過計算可知，紅色圓點標記的電影到動作片 (108,5)的距離最近，為16.55。如果演算法直接根據這個結果，判斷該紅色圓點標記的電影為動作片，這個演算法就是最近鄰演算法，而非k-近鄰演算法。那麼k-鄰近演算法是什麼呢？k-近鄰演算法步驟如下：

1. 計算已知類別資料集中的點與當前點之間的距離；
2. 按照距離遞增次序排序；
3. 選取與當前點距離最小的k個點；
4. 確定前k個點所在類別的出現頻率；
5. 返回前k個點所出現頻率最高的類別作為當前點的預測分類。

    比如，現在我這個k值取3，那麼在電影例子中，按距離依次排序的三個點分別是動作片(108,5)、動作片(115,8)、愛情片(5,89)。在這三個點中，動作片出現的頻率為三分之二，愛情片出現的頻率為三分之一，所以該紅色圓點標記的電影為動作片。這個判別過程就是k-近鄰演算法。

##1.3 Python3程式碼實現

    我們已經知道了k-近鄰演算法的原理，那麼接下來就是使用Python3實現該演算法，依然以電影分類為例。

1.3.1 準備資料集

    對於表1.1中的資料，我們可以使用numpy直接建立，程式碼如下：

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np

"""
函式說明:建立資料集

Parameters:
    無
Returns:
    group - 資料集
    labels - 分類標籤
Modify:
    2017-07-13
"""
def createDataSet():
    #四組二維特徵
    group = np.array([[1,101],[5,89],[108,5],[115,8]])
    #四組特徵的標籤
    labels = ['愛情片','愛情片','動作片','動作片']
    return group, labels
if __name__ == '__main__':
    #建立資料集
    group, labels = createDataSet()
    #列印資料集
    print(group)
    print(labels)

    執行結果，如圖1.3所示：

圖1.3 執行結果

###1.3.2 k-近鄰演算法

    根據兩點距離公式，計算距離，選擇距離最小的前k個點，並返回分類結果。

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import operator

"""
函式說明:kNN演算法,分類器

Parameters:
    inX - 用於分類的資料(測試集)
    dataSet - 用於訓練的資料(訓練集)
    labes - 分類標籤
    k - kNN演算法引數,選擇距離最小的k個點
Returns:
    sortedClassCount[0][0] - 分類結果

Modify:
    2017-07-13
"""
def classify0(inX, dataSet, labels, k):
    #numpy函式shape[0]返回dataSet的行數
    dataSetSize = dataSet.shape[0]
    #在列向量方向上重複inX共1次(橫向)，行向量方向上重複inX共dataSetSize次(縱向)
    diffMat = np.tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet
    #二維特徵相減後平方
    sqDiffMat = diffMat**2
    #sum()所有元素相加，sum(0)列相加，sum(1)行相加
    sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
    #開方，計算出距離
    distances = sqDistances**0.5
    #返回distances中元素從小到大排序後的索引值
    sortedDistIndices = distances.argsort()
    #定一個記錄類別次數的字典
    classCount = {}
    for i in range(k):
        #取出前k個元素的類別
        voteIlabel = labels[sortedDistIndices[i]]
        #dict.get(key,default=None),字典的get()方法,返回指定鍵的值,如果值不在字典中返回預設值。
        #計算類別次數
        classCount[voteIlabel] = classCount.get(voteIlabel,0) + 1
    #python3中用items()替換python2中的iteritems()
    #key=operator.itemgetter(1)根據字典的值進行排序
    #key=operator.itemgetter(0)根據字典的鍵進行排序
    #reverse降序排序字典
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(),key=operator.itemgetter(1),reverse=True)
    #返回次數最多的類別,即所要分類的類別
    return sortedClassCount[0][0]

###1.3.3 整體程式碼

    這裡預測紅色圓點標記的電影(101，20)的類別，K-NN的k值為3。建立kNN_test01.py檔案，編寫程式碼如下：

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import operator

"""
函式說明:建立資料集

Parameters:
    無
Returns:
    group - 資料集
    labels - 分類標籤
Modify:
    2017-07-13
"""
def createDataSet():
    #四組二維特徵
    group = np.array([[1,101],[5,89],[108,5],[115,8]])
    #四組特徵的標籤
    labels = ['愛情片','愛情片','動作片','動作片']
    return group, labels

"""
函式說明:kNN演算法,分類器

Parameters:
    inX - 用於分類的資料(測試集)
    dataSet - 用於訓練的資料(訓練集)
    labes - 分類標籤
    k - kNN演算法引數,選擇距離最小的k個點
Returns:
    sortedClassCount[0][0] - 分類結果

Modify:
    2017-07-13
"""
def classify0(inX, dataSet, labels, k):
    #numpy函式shape[0]返回dataSet的行數
    dataSetSize = dataSet.shape[0]
    #在列向量方向上重複inX共1次(橫向)，行向量方向上重複inX共dataSetSize次(縱向)
    diffMat = np.tile(inX, (dataSetSize, 1)) - dataSet
    #二維特徵相減後平方
    sqDiffMat = diffMat**2
    #sum()所有元素相加，sum(0)列相加，sum(1)行相加
    sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)
    #開方，計算出距離
    distances = sqDistances**0.5
    #返回distances中元素從小到大排序後的索引值
    sortedDistIndices = distances.argsort()
    #定一個記錄類別次數的字典
    classCount = {}
    for i in range(k):
        #取出前k個元素的類別
        voteIlabel = labels[sortedDistIndices[i]]
        #dict.get(key,default=None),字典的get()方法,返回指定鍵的值,如果值不在字典中返回預設值。
        #計算類別次數
        classCount[voteIlabel] = classCount.get(voteIlabel,0) + 1
    #python3中用items()替換python2中的iteritems()
    #key=operator.itemgetter(1)根據字典的值進行排序
    #key=operator.itemgetter(0)根據字典的鍵進行排序
    #reverse降序排序字典
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(),key=operator.itemgetter(1),reverse=True)
    #返回次數最多的類別,即所要分類的類別
    return sortedClassCount[0][0]

if __name__ == '__main__':
    #建立資料集
    group, labels = createDataSet()
    #測試集
    test = [101,20]
    #kNN分類
    test_class = classify0(test, group, labels, 3)
    #列印分類結果
    print(test_class)

    執行結果，如圖1.4所示：

圖1.4 執行結果

    可以看到，分類結果根據我們的"經驗"，是正確的，儘管這種分類比較耗時，用時1.4s。

    到這裡，也許有人早已經發現，電影例子中的特徵是2維的，這樣的距離度量可以用兩 點距離公式計算，但是如果是更高維的呢？對，沒錯。我們可以用歐氏距離(也稱歐幾里德度量)，如圖1.5所示。我們高中所學的兩點距離公式就是歐氏距離在二維空間上的公式，也就是歐氏距離的n的值為2的情況。

圖1.5 歐氏距離公式

    看到這裡，有人可能會問：“分類器何種情況下會出錯？”或者“答案是否總是正確的？”答案是否定的，分類器並不會得到百分百正確的結果，我們可以使用多種方法檢測分類器的正確率。此外分類器的效能也會受到多種因素的影響，如分類器設定和資料集等。不同的演算法在不同資料集上的表現可能完全不同。為了測試分類器的效果，我們可以使用已知答案的資料，當然答案不能告訴分類器，檢驗分類器給出的結果是否符合預期結果。通過大量的測試資料，我們可以得到分類器的錯誤率-分類器給出錯誤結果的次數除以測試執行的總數。錯誤率是常用的評估方法，主要用於評估分類器在某個資料集上的執行效果。完美分類器的錯誤率為0，最差分類器的錯誤率是1.0。同時，我們也不難發現，k-近鄰演算法沒有進行資料的訓練，直接使用未知的資料與已知的資料進行比較，得到結果。因此，可以說k-鄰近演算法不具有顯式的學習過程。

二 k-近鄰演算法實戰之約會網站配對效果判定

    上一小結學習了簡單的k-近鄰演算法的實現方法，但是這並不是完整的k-近鄰演算法流程，k-近鄰演算法的一般流程：

1. 收集資料：可以使用爬蟲進行資料的收集，也可以使用第三方提供的免費或收費的資料。一般來講，資料放在txt文字檔案中，按照一定的格式進行儲存，便於解析及處理。
2. 準備資料：使用Python解析、預處理資料。
3. 分析資料：可以使用很多方法對資料進行分析，例如使用Matplotlib將資料視覺化。
4. 測試演算法：計算錯誤率。
5. 使用演算法：錯誤率在可接受範圍內，就可以執行k-近鄰演算法進行分類。

    已經瞭解了k-近鄰演算法的一般流程，下面開始進入實戰內容。

##2.1 實戰背景

    海倫女士一直使用線上約會網站尋找適合自己的約會物件。儘管約會網站會推薦不同的任選，但她並不是喜歡每一個人。經過一番總結，她發現自己交往過的人可以進行如下分類：

• 不喜歡的人
• 魅力一般的人
• 極具魅力的人

    海倫收集約會資料已經有了一段時間，她把這些資料存放在文字檔案datingTestSet.txt中，每個樣本資料佔據一行，總共有1000行。

    海倫收集的樣本資料主要包含以下3種特徵：

• 每年獲得的飛行常客里程數
• 玩視訊遊戲所消耗時間百分比
• 每週消費的冰淇淋公升數

    這裡不得不吐槽一句，海倫是個小吃貨啊，冰淇淋公斤數都影響自己擇偶標準。開啟txt文字檔案，資料格式如圖2.1所示。

圖2.1 datingTestSet.txt格式

##2.2 準備資料：資料解析

    在將上述特徵資料輸入到分類器前，必須將待處理的資料的格式改變為分類器可以接收的格式。分類器接收的資料是什麼格式的？從上小結已經知道，要將資料分類兩部分，即特徵矩陣和對應的分類標籤向量。在kNN_test02.py檔案中建立名為file2matrix的函式，以此來處理輸入格式問題。 將datingTestSet.txt放到與kNN_test02.py相同目錄下，編寫程式碼如下：

# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
"""
函式說明:開啟並解析檔案，對資料進行分類：1代表不喜歡,2代表魅力一般,3代表極具魅力

Parameters:
    filename - 檔名
Returns:
    returnMat - 特徵矩陣
    classLabelVector - 分類Label向量

Modify:
    2017-03-24
"""
def file2matrix(filename):
    #開啟檔案
    fr = open(filename)
    #讀取檔案所有內容
    arrayOLines = fr.readlines()
    #得到檔案行數
    numberOfLines = len(arrayOLines)
    #返回的NumPy矩陣,解析完成的資料:numberOfLines行,3列
    returnMat = np.zeros((numberOfLines,3))
    #返回的分類標籤向量
    classLabelVector = []
    #行的索引值
    index = 0
    for line in arrayOLines:
        #s.strip(rm)，當rm空時,預設刪除空白符(包括'\n','\r','\t',' ')
        line = line.strip()
        #使用s.split(str="",num=string,cout(str))將字串根據'\t'分隔符進行切片。
        listFromLine = line.split('\t')
        #將資料前三列提取出來,存放到returnMat的NumPy矩陣中,也就是特徵矩陣
        returnMat[index,:] = listFromLine[0:3]
        #根據文字中標記的喜歡的程度進行分類,1代表不喜歡,2代表魅力一般,3代表極具魅力
        if listFromLine[-1] == 'didntLike':
            classLabelVector.append(1)
        elif listFromLine[-1] == 'smallDoses':
            classLabelVector.append(2)
        elif listFromLine[-1] == 'largeDoses':
            classLabelVector.append(3)
        index += 1
    return returnMat, classLabelVector

"""
函式說明:main函式

Parameters:
    無
Returns:
    無

Modify:
    2017-03-24
"""
if __name__ == '__main__':
    #開啟的檔名
    filename = "datingTestSet.txt"
    #開啟並處理資料
    datingDataMat, datingLabels = file2matrix(filename)
    print(datingDataMat)
    print(datingLabels)

    執行上述程式碼，得到的資料解析結果如圖2.2所示。

圖2.2 資料解析結果

    可以看到，我們已經順利匯入資料，並對資料進行解析，格式化為分類器需要的資料格式。接著我們需要了解資料的真正含義。可以通過友好、直觀的圖形化的方式觀察資料。

##2.3 分析資料：資料視覺化

    在kNN_test02.py檔案中編寫名為showdatas的函式，用來將資料視覺化。編寫程式碼如下：

# -*- coding: UTF-8 -*-

from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.lines as mlines
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

"""
函式說明:開啟並解析檔案，對資料進行分類：1代表不喜歡,2代表魅力一般,3代表極具魅力

Parameters:
    filename - 檔名
Returns:
    returnMat - 特徵矩陣
    classLabelVector - 分類Label向量

Modify:
    2017-03-24
"""
def file2matrix(filename):
    #開啟檔案
    fr = open(filename)
    #讀取檔案所有內容
    arrayOLines = fr.readlines()
    #得到檔案行數
    numberOfLines = len(arrayOLines)
    #返回的NumPy矩陣,解析完成的資料:numberOfLines行,3列
    returnMat = np.zeros((numberOfLines,3))
    #返回的分類標籤向量
    classLabelVector = []
    #行的索引值
    index = 0
    for line in arrayOLines:
        #s.strip(rm)，當rm空時,預設刪除空白符(包括'\n','\r','\t',' ')
        line = line.strip()
        #使用s.split(str="",num=string,cout(str))將字串根據'\t'分隔符進行切片。
        listFromLine = line.split('\t')
        #將資料前三列提取出來,存放到returnMat的NumPy矩陣中,也就是特徵矩陣
        returnMat[index,:] = listFromLine[0:3]
        #根據文字中標記的喜歡的程度進行分類,1代表不喜歡,2代表魅力一般,3代表極具魅力
        if listFromLine[-1] == 'didntLike':
            classLabelVector.append(1)
        elif listFromLine[-1] == 'smallDoses':
            classLabelVector.append(2)
        elif listFromLine[-1] == 'largeDoses':
            classLabelVector.append(3)
        index += 1
    return returnMat, classLabelVector

"""
函式說明:視覺化資料

Parameters:
    datingDataMat - 特徵矩陣
    datingLabels - 分類Label
Returns:
    無
Modify:
    2017-03-24
"""
def showdatas(datingDataMat, datingLabels):
    #設定漢字格式
    font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)
    #將fig畫布分隔成1行1列,不共享x軸和y軸,fig畫布的大小為(13,8)
    #當nrow=2,nclos=2時,代表fig畫布被分為四個區域,axs[0][0]表示第一行第一個區域
    fig, axs = plt.subplots(nrows=2, ncols=2,sharex=False, sharey=False, figsize=(13,8))

    numberOfLabels = len(datingLabels)
    LabelsColors = []
    for i in datingLabels:
        if i == 1:
            LabelsColors.append('black')
        if i == 2:
            LabelsColors.append('orange')
        if i == 3:
            LabelsColors.append('red')
    #畫出散點圖,以datingDataMat矩陣的第一(飛行常客例程)、第二列(玩遊戲)資料畫散點資料,散點大小為15,透明度為0.5
    axs[0][0].scatter(x=datingDataMat[:,0], y=datingDataMat[:,1], color=LabelsColors,s=15, alpha=.5)
    #設定標題,x軸label,y軸label
    axs0_title_text = axs[0][0].set_title(u'每年獲得的飛行常客里程數與玩視訊遊戲所消耗時間佔比',FontProperties=font)
    axs0_xlabel_text = axs[0][0].set_xlabel(u'每年獲得的飛行常客里程數',FontProperties=font)
    axs0_ylabel_text = axs[0][0].set_ylabel(u'玩視訊遊戲所消耗時間佔',FontProperties=font)
    plt.setp(axs0_title_text, size=9, weight='bold', color='red') 
    plt.setp(axs0_xlabel_text, size=7, weight='bold', color='black') 
    plt.setp(axs0_ylabel_text, size=7, weight='bold', color='black')

    #畫出散點圖,以datingDataMat矩陣的第一(飛行常客例程)、第三列(冰激凌)資料畫散點資料,散點大小為15,透明度為0.5
    axs[0][1].scatter(x=datingDataMat[:,0], y=datingDataMat[:,2], color=LabelsColors,s=15, alpha=.5)
    #設定標題,x軸label,y軸label
    axs1_title_text = axs[0][1].set_title(u'每年獲得的飛行常客里程數與每週消費的冰激淋公升數',FontProperties=font)
    axs1_xlabel_text = axs[0][1].set_xlabel(u'每年獲得的飛行常客里程數',FontProperties=font)
    axs1_ylabel_text = axs[0][1].set_ylabel(u'每週消費的冰激淋公升數',FontProperties=font)
    plt.setp(axs1_title_text, size=9, weight='bold', color='red') 
    plt.setp(axs1_xlabel_text, size=7, weight='bold', color='black') 
    plt.setp(axs1_ylabel_text, size=7, weight='bold', color='black')

    #畫出散點圖,以datingDataMat矩陣的第二(玩遊戲)、第三列(冰激凌)資料畫散點資料,散點大小為15,透明度為0.5
    axs[1][0].scatter(x=datingDataMat[:,1], y=datingDataMat[:,2], color=LabelsColors,s=15, alpha=.5)
    #設定標題,x軸label,y軸label
    axs2_title_text = axs[1][0].set_title(u'玩視訊遊戲所消耗時間佔比與每週消費的冰激淋公升數',FontProperties=font)
    axs2_xlabel_text = axs[1][0].set_xlabel(u'玩視訊遊戲所消耗時間佔比',FontProperties=font)
    axs2_ylabel_text = axs[1][0].set_ylabel(u'每週消費的冰激淋公升數',FontProperties=font)
    plt.setp(axs2_title_text, size=9, weight='bold', color='red') 
    plt.setp(axs2_xlabel_text, size=7, weight='bold', color='black') 
    plt.setp(axs2_ylabel_text, size=7, weight='bold', color='black')
    #設定圖例
    didntLike = mlines.Line2D([], [], color='black', marker='.',
                      markersize=6, label='didntLike')
    smallDoses = mlines.Line2D([], [], color='orange', marker='.',
                      markersize=6, label='smallDoses')
    largeDoses = mlines.Line2D([], [], color='red', marker='.',
                      markersize=6, label='largeDoses')
    #新增圖例
    axs[0][0].legend(handles=[didntLike,smallDoses,largeDoses])
    axs[0][1].legend(handles=[didntLike,smallDoses,largeDoses])
    axs[1][0].legend(handles=[didntLike,smallDoses,largeDoses])
    #顯示圖片
    plt.show()

"""
函式說明:main函式

Parameters:
    無
Returns:
    無

Modify:
    2017-03-24
"""
if __name__ == '__main__':
    #開啟的檔名
    filename = "datingTestSet.txt"
    #開啟並處理資料
    datingDataMat, datingLabels = file2matrix(filename)
    showdatas(datingDataMat, datingLabels)

    執行上述程式碼，可以看到視覺化結果如圖2.3所示。

圖2.3 資料視覺化結果 [點選檢視大圖](https://img-blog.csdn.net/20170715153336117?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvYzQwNjQ5NTc2Mg==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast)

    通過資料可以很直觀的發現數據的規律，比如以玩遊戲所消耗時間佔比與每年獲得的飛行常客里程數，只考慮這二維的特徵資訊，給我的感覺就是海倫喜歡有生活質量的男人。為什麼這麼說呢？每年獲得的飛行常客里程數表明，海倫喜歡能享受飛行常客獎勵計劃的男人，但是不能經常坐飛機，疲於奔波，滿世界飛。同時，這個男人也要玩視訊遊戲，並且佔一定時間比例。能到處飛，又能經常玩遊戲的男人是什麼樣的男人？很顯然，有生活質量，並且生活悠閒的人。我的分析，僅僅是通過視覺化的資料總結的個人看法。我想，每個人的感受應該也是不盡相同。

##2.4 準備資料：資料歸一化

    表2.1給出了四組樣本，如果想要計算樣本3和樣本4之間的距離，可以使用尤拉公式計算。

| 樣本 | 玩遊戲所耗時間百分比 | 每年獲得的飛行常用里程數 | 每週消費的冰淇淋公升數 | 樣本分類 |
| :---------: |:---------