1. 程式人生 > >計算機圖形學(二)——微表面模型

計算機圖形學(二)——微表面模型

計算機圖形學中基於物理建模的渲染技術之所以能給人極佳的視覺體驗,是因為利用這些渲染技術能夠很真實的反映出每種物體獨有的“質感”。我們能通過人眼觀察來感受物體表面“質感”的原因,也是因為物體表面反射周圍環境的特性不同而造成的,因此對物體表面的物理建模對於其表面本身的質感表現至關重要。對物體表面的建模,最簡單的是鏡面模型。利用鏡面模型渲染出的物體具有十分光滑的感覺。然而現實生活中很多物體表面一般是粗糙的,因此為了對上述的一般表面進行物理建模並將該物理模型應用到實際的渲染技術當中去,我們首先要引入微表面模型。微表面模型假定物體表面是由一系列朝向各異的微小鏡面組成的,各個微小鏡面的朝向分佈越分散,則巨集觀的物體表面就會越粗糙;若越集中,則物體表面就會越光滑。在這一部分中,我們首先詳細介紹法線分佈函式(Microfacet Distribution Function)和自遮擋函式(Masking and Shadowing Function),隨後基於上述兩部分內容,詳細地推導Torrance-Sparrow微表面模型的BRDF解析形式。

 

2.1 法線分佈函式(Microfacet Distribution Function)

 

 法線分佈函式類似概率論中的概率密度分佈函式,它描述了每一個微表面法線朝向一個特定方向的概率。該函式寫為$D\left({{\bf{\omega}}_h}\right)$,這裡的${\bf{\omega}}_h$是每一個微小面元(microfacet)的朝向,即法線方向。如圖4所示,我們假設微表面(藍色部分)是原物體光滑表面(黑色部分)沿法線${\bf{n}}$做隨機擾動後所形成的不平整表面,其中的紅色部分是朝向參考方向${\bf{\omega}}_h$附近的微表面集合,我們設擾動前光滑表面(黑色部分)的表面積總和為$A$,經擾動之後的微表面(藍色部分)的表面積總和為$A'$,並假定$A$的面積足夠小。於是$D\left( {\bf{\omega}}_h \right){\rm{d}}{\bf{\omega}}_h $被定義為:圖4中所有朝向位於${\bf{\omega}}_h$附近的紅色微小面元面積之和佔$A$的比例(注意是佔$A$的比例,而不是佔$A'$的比例。這個定義似乎有些反常,從直覺上來看,我們求紅色面積對$A'$的比例更有意義,但由於微表面的總表面積$A'$難於求得,且$A'$和物體表面的粗糙度有關,粗糙度越大則相應的$A'$越大,但我們發現$A$卻與物體表面的粗糙度無關,這也是不得已而做出的權衡)。因此,表示式${A}{\cdot}D({\bf{\omega}}_h){\rm{d}}{{\bf{\omega}}_h}$即為朝向${\bf{\omega}}_h$附近的所有微表面的面積總和。由於在物體表面任意位置$x$處形成的半球面$\Omega_x$包含了所有$\bf{\omega}_{h}$的可能取值,根據上述的敘述過程,所以該處微表面的表面積總和$A' = \int\limits_{\Omega _x } {A} \cdot {D\left( {{\bf{\omega}} }_h \right){\rm{d}}{{\bf{\omega}} }_h}$。

 

 

根據以上的陳述,我們可以得到有關函式$D({\bf{\omega}}_h)$的一些性質如下:

1) 非負性。

\begin{equation}
D({\bf{\omega}}_h) \ge 0
\end{equation}

2) 在物體表面任意位置$x$處形成的半球面$\Omega_x$內,微表面的面積$A'$應不小於$A$。即$A' = \int\limits_{\Omega _x } {A} \cdot {D\left( {{\bf{\omega}} }_h \right){\rm{d}}{{\bf{\omega}} }_h} \ge A $。約去兩邊的$A$,有

\begin{equation}
\int\limits_{\Omega _x } {D\left( {{\bf{\omega}} }_h \right){\rm{d}}{{\bf{\omega}} }_h } \ge 1
\end{equation}
這樣看來,$D(\bf{\omega}_{h})$並不能算是嚴格意義上的概率密度函式,因為原始的$D(\bf{\omega}_{h})$在半球面域上的積分不一定為$1$。這是因為前文所述$D({\bf{\omega}}_{h}) {\rm{d}} {\bf{\omega}_{h}}$的含義較為奇怪所造成的。

3) 原光滑表面在任意方向$\bf{v}$上的投影面積,也等於微表面在該方向上的投影面積。
這一點可以通過圖5說明。注意朝向與投影方向相反的微表面,其投影面積按負值計算,體現為圖中的紅色部分。設每個微表面的法線方向為$\bf{h}$,原表面法線為$\bf{n}$,則有$\int\limits_{\Omega _x } {A \cdot D\left( {{\bf{\omega }}_h } \right)\left( {{\bf{v}} \cdot {\bf{h}}} \right){\rm{d}}{\bf{\omega }}_h } = A\left( {{\bf{v}} \cdot {\bf{n}}} \right)$。即
\begin{equation}
\label{eq:microfacet-projection}
\int\limits_{\Omega _x } { D\left( {{\bf{\omega }}_h } \right)\left( {{\bf{v}} \cdot {\bf{h}}} \right){\rm{d}}{\bf{\omega }}_h } = \left( {{\bf{v}} \cdot {\bf{n}}} \right)
\end{equation}
特殊地,若取$\bf{v}=\bf{n}$,則式(\ref{eq:microfacet-projection})變為
\begin{equation}
\label{eq:microfacet-projection-2}
\int\limits_{\Omega _x } { D\left( {{\bf{\omega }}_h } \right) {\rm{cos} {\theta}} {\rm{d}}{\bf{\omega }}_h } = 1
\end{equation}
式(\ref{eq:microfacet-projection-2})中$\theta$是每個微表面的法線$\bf{h}$與原表面法線$\bf{n}$的夾角。該式實質上定義了法線分佈函式$D(\bf{\omega}_h)$的歸一化條件。

 


以上內容詳細介紹了有關法線分佈函式的特性,而針對法線分佈函式的具體表現形式,有如下幾種典型的實現。接下來主要介紹Beckmann–Spizzichino分佈函式(後文簡稱Beckmann分佈)和Walter GGX分佈函式(後文簡稱GGX分佈)。

 

2.1.1 Beckmann分佈

Beckmann和Spizzichino兩人在1963年提出了$D({\bf{\omega}}_{h})$的一種實現形式如下
\begin{equation}
\label{eq:beckmann}
D\left( {{\bf{\omega }}_h } \right) = \frac{{e^{ - \tan ^2 \theta _h /\alpha ^2 } }}{{\pi \alpha ^2 \cos ^4 \theta _h }}
\end{equation}
其中$\theta_h$是${\bf{\omega}}_{h}$在球座標系表示下的極角。

式(\ref{eq:beckmann})可以用於各向同性表面,針對各向異性的表面,可以將$\alpha$分解為$\alpha_x$和$\alpha_y$分量,並模仿橢圓解析式的形式對該式進行改進,得到如下所示的各向異性表示式

\begin{equation}
\label{eq:beckmann-aniso}
D\left( {{\bf{\omega }}_h } \right) = \frac{{e^{ - \tan ^2 \theta _h \left( {\cos ^2 \varphi _h /\alpha _x^2 + \sin ^2 \varphi _h /\alpha _y^2 } \right)} }}{{\pi \alpha _x \alpha _y \cos ^4 \theta _h }}
\end{equation}
其中$\theta_h$、$\varphi_h$分別是${\bf{\omega}}_{h}$在球座標系表示下的極角和方位角。各向同性表示式僅是各向異性在$\alpha_x=\alpha_y=\alpha$的情況,其分佈特點如圖6所示,每幅子圖沿徑向外移對應球座標系的極角$\theta$增大,球座標系的方位角$\varphi$變化一週,對應每幅子圖等半徑的同心圓。

 

 

2.1.2 GGX分佈
Walter在2007年基於Trowbridge, T. S.和Reitz, K. P.兩人提出的分佈函式,進一步推匯出了GGX分佈。利用這種分佈構造的$D({\bf{\omega}} _ {h})$,具有較長的拖尾,可以很好的模擬普通物體的高光特性。這裡直接給出其各向異性的$D({\bf{\omega}} _ {h})$形式如下。各向同性形式僅需令$\alpha_x=\alpha_y$即可。其分佈特點如圖7所示。

\begin{equation}
\label{eq:trowbridge-aniso}
D\left( { {\bf{\omega}} _h } \right) = \frac{1}{{\pi \alpha _x \alpha _y \cos ^4 \theta _h \left( {1 + \tan ^2 \theta _h \left( {\frac{{\cos ^2 \varphi _h }}{{\alpha _x^2 }} + \frac{{\sin ^2 \varphi _h }}{{\alpha _y^2 }}} \right)} \right)^2 }}
\end{equation}

 

2.2 自遮擋函式(Masking and Shadowing Function)

僅定義法線分佈函式,是不足以描述微表面本身特徵的,我們還要再引入自遮擋函式(Masking and Shadowing Function),這種函式意在模擬隨光照方向發生變化時,微表面自身的遮擋特性。或者說,當觀察視角發生變化時,某些微表面會被其它微表面遮擋,我們需要一個函式來闡述這種遮擋關係。這種函式的原型為$G_1( { \bf{\omega},\bf{\omega}_{h} } )$,其含義為:沿視線方向$\bf{\omega}$看去,朝向$\bf{\omega}_{h}$附近的微表面中能被人眼看到的比例(圖8中藍色部分與綠色部分之和的比例)。圖形學中為了簡化模型,常假設$G_1$與微表面自身朝向$\bf{\omega}_{h}$無關,此時$G_1$常寫為$G_1( \bf{\omega} )$。

與式(\ref{eq:microfacet-projection-2})中描述的法線分佈函式的歸一化約束條件類似,這裡我們開始推導自遮擋函式$G_1( { \bf{\omega},\bf{\omega}_{h} } )$的約束條件。在介紹法線分佈函式部分中我們曾提及,朝向$\bf{\omega}_{h}$附近的微表面的總表面積為${A \cdot D\left( {{\bf{ \bf{\omega} }}_h } \right){\rm{d}}{\bf{ \bf{\omega} }}_h }$。如果我們沿著視線方向$\bf{\omega}$看去,則朝向$\bf{\omega}_{h}$附近的微表面沿著視線方向的投影面積為
$$
{\max \left( {0,{\bf{\omega }} \cdot {\bf{\omega }}_h } \right) \cdot A \cdot D\left( {{\bf{\omega }}_h } \right){\rm{d}}{\bf{\omega }}_h }
$$
上式用$\max$來過濾掉背向視線的微表面投影面積,使得當微表面朝向${\bf{\omega}_{h}}$與視線${\bf{\omega}}$成角大於$\frac{\pi}{2}$時,它們的投影(負值)不會對最終投影結果產生抵消作用(因為我們從任意方向觀察時本身就看不到背離視線方向的微表面,它們對可見面積沒有貢獻)。注意這裡即便是我們得到了所有朝向${\bf{\omega}_{h}}$的微表面投影,它們自身也可能發生遮擋(圖8中沿視線方向$\bf{\omega}$看去,綠色部分之間有相互重疊的部分),使得它們的實際可見面積小於投影面積,而$G_1$函式可以得到其可見面積與實際面積之比。根據前文對$G_1$函式的描述,我們可以得到實際可見的朝向${\bf{\omega}_{h}}$附近的微表面投影面積為
$$
{ G_1({\bf{\omega}},{\bf{\omega}}_{h} ) \cdot \max \left( {0,{\bf{\omega }} \cdot {\bf{\omega }}_h } \right) \cdot A \cdot D\left( {{\bf{\omega }}_h } \right){\rm{d}}{\bf{\omega }}_h }
$$
上述面積對位於點$x$處附近半球面$\Omega_x$內所有$\bf{\omega}_{h}$進行積分,我們就得到了所有微表面沿視線$\bf{\omega}$投影后的可見面積
$$
\int\limits_{\Omega _x } {G_1 \left( {\bf{\omega} ,\bf{\omega} _h } \right) \cdot \max \left( {0,\bf{\omega} \cdot \bf{\omega} _h } \right) \cdot A \cdot D\left( {\bf{\omega} _h } \right){\rm{d}}\bf{\omega} _h }
$$
而這個面積又一定與$A$沿著視線方向的投影面積嚴格相等,即
$$
A \cos \theta = \int\limits_{\Omega _x } {G_1 \left( {\bf{\omega} ,\bf{\omega} _h } \right) \cdot \max \left( {0,\bf{\omega} \cdot \bf{\omega} _h } \right) \cdot A \cdot D\left( {\bf{\omega} _h } \right){\rm{d}}\bf{\omega} _h }
$$

 

由於$A$為常數,兩邊約去重複項$A$,得到
\begin{equation}
\label{eq:g1-constraint}
\cos \theta = \int\limits_{\Omega _x } {G_1 \left( {\bf{\omega} ,\bf{\omega} _h } \right) \cdot \max \left( {0,\bf{\omega} \cdot \bf{\omega} _h } \right) \cdot D\left( {\bf{\omega} _h } \right){\rm{d}}\bf{\omega} _h }
\end{equation}
式(\ref{eq:g1-constraint})即為$G_1$和$D$的共同約束條件,當$D$的形式給定且已滿足式(\ref{eq:microfacet-projection-2})的歸一化條件時,則進一步化為$G_1$自身的約束條件。此條件可以用於後續對$G_1$解析形式的求解。

 

基於上述討論,我們只定性分析了$G_1$的形式與作用,這裡我們繼續推導$G_1$的解析形式。為了簡化$G_1$的形式,我們假定假設$G_1$與微表面自身朝向$\bf{\omega}_{h}$無關。此時簡化後的$G_1$如圖9所示。注意圖9與圖8的區別,圖8這裡由於已經假設$G_1$僅與${\bf{\omega}}$有關,所以在投影的時候,我們把所有與視線成角小於$\frac{\pi}{2}$的微表面一併投影,得到的綠色面積之和設為$A^+({\bf{\omega}})$,把所有與視線成角大於$\frac{\pi}{2}$的微表面一併投影,得到的紅色面積之和設為$A^-({\bf{\omega}})$。這樣我們可以輕鬆得到
$$
A \cos \theta = A^+({\bf{\omega}}) - A^-({\bf{\omega}})
$$

\begin{equation}
\label{eq:g1-2}
G_1({\bf{\omega}})= \frac{A \cos \theta}{A^+({\bf{\omega}})} = \frac{A^+({\bf{\omega}}) - A^-({\bf{\omega}})}{A^+({\bf{\omega}})}
\end{equation}
此時構造輔助函式
$$
\Lambda \left( {\bf{\omega}} \right) = \frac{{A^ - \left( {\bf{\omega}} \right)}}{{A^ + \left( {\bf{\omega}} \right) - A^ - \left( {\bf{\omega}} \right)}}
$$

$$
G_1 \left( {\bf{\omega}} \right) = \frac{1}{{1 + \Lambda \left( {\bf{\omega}} \right)}}
$$
如果我們假設,微表面之間的高度互不相關(很明顯這個假設並不正確,因為微表面是連續的,相鄰微表面的高度一定相關,這裡做出假設是因為要根據$D({\bf{\omega}}_{h})$得出$\Lambda$的確解,否則將會有很多$\Lambda$的解滿足式(\ref{eq:g1-constraint})。實際應用表明,這種假設下得到的$\Lambda$仍能對生活中的物體表面做出很好的近似),則對於Beckmann分佈,有
\begin{equation}
\label{eq:beckmann-lambda}
\Lambda \left( {\bf{\omega}} \right) = \frac{1}{2}\left( { {\rm{erf}} \left( a \right) - 1 + \frac{{e^{ - a^2 } }}{{a\sqrt \pi }}} \right)
\end{equation}
其中$a=\frac{1}{\alpha \tan \theta}$,$ {\rm{erf}} \left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int_0^x {e^{ - t^2 } {\rm{d}}t} $。對於各向異性表面,取
$$
\alpha = \sqrt {\alpha _x^2 \cos ^2 \varphi + \alpha _y^2 \sin ^2 \varphi }
$$
對於GGX分佈,有
\begin{equation}
\label{eq:GGX-lambda}
\Lambda \left( {\bf{\omega}} \right) = \frac{{\sqrt {1 + \alpha ^2 \tan ^2 \theta } - 1}}{2}
\end{equation}

 

以上詳細介紹了$G_1$函式的表現形式,然而在實際渲染中,$G_1$並不能直接套用在渲染方程裡,我們還需要定義$G({\bf{\omega}_{i}},{\bf{\omega}_{o}})$,$G$的含義與$G_1$類似,$G_1$的分子是僅從$\bf{\omega}$方向能看到的微表面投影面積,$G$的分子給出的是在方向${\bf{\omega}_{i}}$和${\bf{\omega}_{o}}$上都能看見的微表面的投影面積。如果假設微表面同時被${\bf{\omega}_{i}}$和${\bf{\omega}_{o}}$看見的概率正比於微表面高出物體原表面的高度,則可按照該假設構造出$G$的經驗公式

\begin{equation}
\label{eq:G_wi_wo}
G({\bf{\omega}_{i}},{\bf{\omega}_{o}}) = \frac{1}{1+{\Lambda(\bf{{\omega}}_{i})} + {\Lambda(\bf{{\omega}}_{o})}}
\end{equation}

實踐中表明,該經驗公式與實際測量的引數擬合的很好。注意式(\ref{eq:G_wi_wo})成立的條件實質上是基於三個假設:1)自遮擋函式$G_1$與${\bf{\omega}}_h$無關;2)微表面之間的高度互不相關;3)微表面同時被${\bf{\omega}_{i}}$和${\bf{\omega}_{o}}$看見的概率正比於微表面高出物體原表面的高度。

 

2.3 Torrance–Sparrow 模型

該模型是Torrance和Sparrow兩人在1967年為了對粗糙金屬表面進行物理建模時提出的,該模型假設金屬物體表面是由許多具有理想鏡面特性的微表面組成的。下面我們就來詳細推導Torrance–Sparrow模型的解析形式。

 

如圖10所示,設${\bf{\omega}_{h}}$為某一個微表面的法向方向,且為入射方向${\bf{\omega}_{i}}$和出射方向${\bf{\omega}_{o}}$的中間向量,$A$為物體表面處的微小面元,$\theta_o$為${\bf{\omega}}_{o}$和物體表面法向$\bf{n}$的夾角,$\theta_h$為${\bf{\omega}}_{i}$和${\bf{\omega}}_{h}$的夾角(也即${\bf{\omega}}_{o}$和${\bf{\omega}}_{h}$的夾角)。此時${\bf{\omega}_{i}}$和${\bf{\omega}_{o}}$呈鏡面反射關係。根據輻射通量的定義和在“計算機圖形學(一)——輻照度學概述”中所推導得到的式子

 


$$
{\rm{d}}\Phi _h = L_i \left( {{\bf{\omega}} _i } \right)\cos \theta_h {\rm{d}}{\bf{\omega}}_{i} {\rm{d}}A\left( {{\bf{\omega}} _h } \right)
$$
由2.1部分有關微表面表面積積分的內容,可以得到
$$
{\rm{d}}A\left( {{\bf{\omega}} _h } \right) = A \cdot D\left( {{\bf{\omega}} _h } \right){\rm{d}}{\bf{\omega}} _h
$$
所以
\begin{equation}
\label{eq:dphih}
{\rm{d}}\Phi _h = L_i \left( {{\bf{\omega}} _i } \right)A \cdot D\left( {{\bf{\omega}} _h } \right)\cos \theta_h {\rm{d}}{\bf{\omega}}_{i} {\rm{d}}{\bf{\omega}} _h
\end{equation}
設$F_r({\bf{\omega}}_{o})$為沿著入射方向${\bf{\omega}_{i}}$朝出射方向${\bf{\omega}_{o}}$的菲涅爾反射係數,$F_r({\bf{\omega}}_{o}) \in [0,1] $,則沿出射方向${\bf{\omega}_{o}}$的輻射通量${{\rm{d}}\Phi_o}$為
\begin{equation}
\label{eq:dphio}
{{\rm{d}}\Phi_o} = F_r({\bf{\omega}}_{o}){{\rm{d}}\Phi_h}
\end{equation}

根據輻射率的定義,又很容易得到出射輻射率$L_o$為
\begin{equation}
\label{eq:lowo}
{L_o}\left( {{{\bf{\omega }}_o}} \right) = \frac{{{\rm{d}}{\Phi _o}}}{{ A \cos {\theta_o }{\rm{d}}{ {\bf{\omega }} _o}}}
\end{equation}

將式(\ref{eq:dphih})、式(\ref{eq:dphio})代入式(\ref{eq:lowo}),得到
\begin{equation}
\label{eq:lo2}
L_o \left( {{\bf{\omega}} _o } \right) = \frac{{F_r \left( {{\bf{\omega}} _o } \right)L_i \left( {{\bf{\omega}} _i } \right)D\left( {{\bf{\omega}} _h } \right)\cos \theta _h {\rm{d}}{\bf{\omega}}_{i} {\rm{d}}{\bf{\omega}} _h }}{{\cos \theta _o {\rm{d}}{\bf{\omega}} _o }}
\end{equation}

 

假設圖11中,入射光線沿著$IO$方向射入表面處$O$點,並沿著鏡面反射方向$OR$出射,微表面區域性法線為$\bf{h}$。由於$IP=PR$,因此${\rm{d}}A_R=4 \cdot {\rm{d}}A_P$。假設該半球面為單位半球,即$r=|OQ|=1$,則$OP=\cos \theta_i$。所以又有${\rm{d}}A_P=\cos^2 \theta_i \cdot {\rm{d}}A_Q'$。這造成${\rm{d}}A_R=4 \cos^2 \theta_i \cdot {\rm{d}}A_Q'$。注意到${\rm{d}}A_Q$和${\rm{d}}A_Q'$之間滿足的投影關係,${\rm{d}}A_Q= \cos \theta_i \cdot {\rm{d}}A_Q'$,整理上述關係,很容易得到
$$
{\rm{d}}A_R= 4 \cos \theta_i \cdot {\rm{d}}A_Q
$$

由於球面是單位球面,根據立體角的定義,${\rm{d}}A_R={\rm{d}}{\bf{\omega}}_o$,${\rm{d}}A_Q={\rm{d}}{\bf{\omega}}_h$;由於圖11中$\theta_i$和圖10中$\theta_h$等價,$\theta_i=\theta_h$。因此
\begin{equation}
\label{eq:wo=4coswh}
{\rm{d}}{\bf{\omega}}_o = 4 \cos \theta_h \cdot {\rm{d}}{\bf{\omega}}_h
\end{equation}

將式(\ref{eq:wo=4coswh})代入式(\ref{eq:lo2}),得到
\begin{equation}
\label{eq:lo3}
L_o \left( {{\bf{\omega}} _o } \right) = \frac{{F_r \left( {{\bf{\omega}} _o } \right)L_i \left( {{\bf{\omega}} _i } \right)D\left( {{\bf{\omega}} _h } \right){\rm{d}}{\bf{\omega}}_{i} }}{{4 \cos \theta _o }}
\end{equation}

上式是僅在考慮單個微表面時的情況。對於由大量微表面組成的一般材質表面,一定會產生微表面間的遮擋,這時候就要引入上文提及的自遮擋函式$G$。修正後的式(\ref{eq:lo3})變為
\begin{equation}
\label{eq:lo4}
L_o \left( {{\bf{\omega}} _o } \right) = \frac{{F_r \left( {{\bf{\omega}} _o } \right)L_i \left( {{\bf{\omega}} _i } \right)D\left( {{\bf{\omega}} _h } \right)G\left( {{\bf{\omega}} _i ,{\bf{\omega}} _o } \right){\rm{d}}{\bf{\omega}}_{i} }}{{4\cos \theta _o }}
\end{equation}
根據BRDF的定義式
$$
f_r \left( {{\bf{\omega}} _i ,{\bf{\omega}} _o } \right) = \frac{{L_o \left( {{\bf{\omega}} _o } \right)}}{{L_i \left( {{\bf{\omega}} _i } \right)\cos \theta _i {\rm{d}}{\bf{\omega}} _i }}
$$
得到最終的Torrance-Sparrow BRDF解析形式為
\begin{equation}
\label{eq:torrance-sparrow-brdf}
f_r \left( {{\bf{\omega}} _i ,{\bf{\omega}} _o } \right) = \frac{{F_r \left( {{\bf{\omega}} _o } \right)D\left( {{\bf{\omega}} _h } \right)G\left( {{\bf{\omega}} _i ,{\bf{\omega}} _o } \right)}}{{4\cos \theta _o \cos \theta _i }}
\end{equation}

觀察上述推導過程,我們發現Torrance-Sparrow BRDF模型並沒有依賴於任何的微表面分佈特徵,因此該BRDF具有一定的普適性。但是該BRDF的推導仍基於一個基本假設:光線在射入微表面時滿足鏡面反射規律。