前面4篇部落格已經將幾種基礎揹包問題介紹，本文主要對“二維費用”揹包問題進行介紹。“二維費用”揹包問題，較前面幾種揹包問題主要是對每類物品增加了一維費用，用一個簡單的例子來說，即選取某一個物品的同時增加了一個附屬物品，同時對附屬物品的費用也有了限制，通過這種思維，可以將“二維費用”揹包轉換為“01基礎揹包”問題，按照“01基礎揹包”方程可以得到該基礎方程：

c[i][j][k] = max(c[i-1][j-w[i-1]][k-w2[i-1]] + v[i-1], c[i-1][j][k]); 

假設：在選取a、b、c三種物品放入揹包時，每類物品由於均有附屬物，所以對主件和附件均有容量要求，主件容量要求不超過8 Kg，而附件容量不超過5 Kg，在該限制條件下，求可以獲取的最大價值。

具體題目如下：

可能出現的情況：

上述表格由上到下、由左到右生成，由於主件、附件捆綁在一起，所以在選取時需要雙重考慮。其Java實現程式碼如下：

//在01基礎揹包的基礎上，新增一維陣列來進行多重考慮
	private static int[][] BP_method05_1D(int m,int m2,int n,int[] w,int[] w2,int[] v){
		int c[][] = new int[m+1][m2+1];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				c[i][j] = 0;
			}
		}
		for (int i = 0; i < n; i++) {//限定物品種類，無重複
			for (int j = m; j >= w[i]; j--) {//限定主件總重量
				for (int k = m2; k >= w2[i]; k--) {//限定附件重量
					c[j][k] = Math.max(c[j-w[i]][k-w2[i]] + v[i], c[j][k]); 
				}
			}
		}
		return c;
	}
 

//因為新增加了一維判斷，所以在原來的二維解法基礎上形成三維解法
	private static int[][][] BP_method05_2D(int m1,int m2,int n,int[] w, int[] w2,int[] v){
		int c[][][] = new int[n+1][m1+1][m2+1];
		for (int i = 0; i < n+1; i++) {
			c[i][0][0] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			c[0][i][0] = 0;
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) {//限定物品種類，無重複
			for (int j = 1; j <= m1; j++) {//限定主件總重量
				for (int k = 0; k <= m2; k++) {//限定附件總重量
					if (j >= w[i-1] && k >= w2[i-1]) {
						c[i][j][k] = Math.max(c[i-1][j-w[i-1]][k-w2[i-1]] + v[i-1], c[i-1][j][k]); 
					}else {
						c[i][j][k] = c[i-1][j][k];
					}
				}
			}
		}
		return c;
	} 
 

其輸出結果如下：

二維解法：
0  0  0  0  0  
0  0  0  0  0  
0  4  4  4  4  
0  4  4  5  5  
0  4  6  6  6  
0  4  6  6  6  
0  4  6  6  6  
0  4  6  6  10  
三維解法：
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  4  4  4  4  0  0  4  4  4  4  0  0  4  4  4  4  0  0  4  4  4  4  0  0  4  4  4  4  0  0  4  4  4  4  
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  4  4  4  4  0  0  4  4  5  5  0  0  4  4  5  5  0  0  4  4  5  5  0  0  4  4  5  5  0  0  4  4  5  5  
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  4  4  4  4  0  0  4  4  5  5  0  0  4  6  6  6  0  0  4  6  6  6  0  0  4  6  6  6  0  0  4  6  6  10