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作者有話說

小結

小結

分析

作者有話說

本篇博文中的各類陣列都從1開始

題目裡好像混進去了什麼奇怪的東西

二維費用的揹包問題

二維費用的揹包問題是指：對於每件物品，具有兩種不同的費用，選擇這件物品必須同時付出這兩種費用。對於每種費用都有一個可付出的最大值（揹包容量）。問怎樣 選擇物品可以得到最大的價值。

設第 i 件物品所需的兩種費用分別為 Ci 和 Di。兩種費用可付出的最大值（也即兩 種揹包容量）分別為 V 和 U。物品的價值為 Wi。

狀態定義及轉移

cost增加了一位，那麼狀態定義時也要增加一位

定義表示前i種物品費用為j和k時的最大價值

轉移：

同樣，也可以滾成二維，根據物品型別更新，如若每件物品只有一件，注意要倒序。

物品總個數的限制

（來源：揹包九講）

很多時候，第二維的限制條件並不是直接給出的，而是需要轉化，這也提示我們題目如果是在我們熟悉的基礎上增加了一些限制條件，則可以從“陌生中找到熟悉”（這好像是我語文老師說的，不管了，要融會貫通），對現有的條件進行轉化，然後根據模板切題（愉快地打板兒）

比如說 CF的Checkout Assistant 就是進行轉化而來的，意識到可以偷物品就是買這件物品，可以“送”ti件物品，相當於花這件物品的money，可以得到ti+1件物品，而目標是得到n件物品，然後就是0-1揹包板題。

小結

當發現由熟悉的動態規劃題目變形得來的題目時，在原來的狀態中加一維以滿足新 的限制是一種比較通用的方法。

（來源：揹包九講）

分組的揹包問題

有 N 件物品和一個容量為 V 的揹包。第 i 件物品的費用是 Ci，價值是 Wi。這些物品被劃分為 K 組，每組中的物品互相沖突，最多選一件。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

狀態定義及轉移

這類問題的決策則要對於每組物品進行，對於每一組物品可以一個都不選，也可以選第1個、第2個、第3個······

則狀態定義及轉移也十分好想。定義dp[k][j]為前k組物品重量不超過j的最大價值

轉移需要三層for：列舉組數、列舉重量、列舉組中的每一件物品。

小結

分組的揹包問題將彼此互斥的若干物品稱為一個組，這建立了一個很好的模型。不 少揹包問題的變形都可以轉化為分組的揹包問題，由分組的揹包問題進一步可 定義“泛化物品”的概念，十分有利於解題。

（來源：揹包九講）

有依賴的揹包問題（重要）

這種揹包問題的物品間存在某種“依賴”的關係。也就是說，物品 i 依賴於物品 j， 表示若選物品 i，則必須選物品 j。為了簡化起見，我們先設沒有某個物品既依賴於別 的物品，又被別的物品所依賴；另外，沒有某件物品同時依賴多件物品。（否則就是樹型dp）

分析

有依賴的揹包問題來源於一道非常經典的題：金明的預算

但是這道題其實也有“巧”法 認真題的小朋友們會看到這樣一句話：每個主件可以有 0個1 個或 2個附件

然後對於每一組物品（主件+附件）就有一下5種情況：

1. 什麼都不選
2. 只選主件
3. 主件+附件1
4. 主件+附件2
5. 主件+附件1+附件2

依次轉移即可（定義dp[k][j] k表示前k組物品）

即使是上面的“巧”法，我們也用到了之前的分組揹包的思想，如果不這麼定義，狀態將會很難表示，而且無法轉移

現在考慮多個附件的情況

無疑，這樣的策略是非常多的，但是每一種策略都是互斥的（即不能同時選取多種策略）

我們可以對問題向分組揹包進行如下轉化：一個主件和它的附件集合對應分組揹包中的一個物品組，每個選擇了主件又選擇了若干個附件的策略對應於這個物品組中的一個物品，其費用和價值都是這個策略中的物品的值的和。

然而僅僅考慮到這一點是不夠的，因為每一個物品組的物品數量十分地多（選了主件之後，每種附件可以選或不選，也可以直接就不選主件，所以物品數量等於決策數量，為），在資料過大的時候，時間會難以承受。

接下來，我們考慮優化。

對於第 k 個物品組中的 物品，所有費用相同的物品只留一個價值最大的，不影響結果。

所以，可以對主件 k 的 “附件集合”先進行一次 01 揹包，得到費用依次為 0. . .V-Ck 所有這些值時相應的最大價值 f[0 . . . V-Ck]。

就相當於，我們把原來的那麼多附件的物品的組合變成了V-Ck件重量分別為0. . .V-Ck，價值為f[0 . . . V-Ck]的物品，從而極大地減少了物品組中物品的數量。

然後，就可以優雅地用分組揹包解決這個問題了。

或者我後面想到了另一種理解的思路

就是假設我們先選“主件”，然後選了主件之後附件就可以隨便選，就用0-1揹包做一下，然後就可以求出選了這個主件的最大價值

然後再一次更新，看這個物品組選不選（考慮連“主件”都不買的情況）

舉一道例題

emmm...其實第一種思路是理解的揹包九講裡面的東西 但是我沒有打過這種思路的程式碼 不上手的話 其實還有點迷

如果有什麼BUG的話，歡迎指正 悄悄溜走~~~

最後是非常不正經的ending

參考了《揹包九講》和網上一些資料，會在博文中標註，大多數部分為原創，請放心食用；由於作者水平有限，若有理解不到位或者表達有什麼紕漏，可以 call me at [email protected] 或加qq請註明必要的資訊+csdn