一、迴圈冗餘校驗碼（CRC）
CRC校驗採用多項式編碼方法。被處理的資料塊可以看作是一個n階的二進位制多項式，由 。如一個8位二進位制數10110101可以表示為： 。多項式乘除法運算過程與普通代數多項式的乘除法相同。多項式的加減法運算以2為模，加減時不進，錯位，和邏輯異或運算一致。
採用CRC校驗時，傳送方和接收方用同一個生成多項式g（x）,並且g（x）的首位和最後一位的係數必須為1。CRC的處理方法是：傳送方以g（x）去除t（x），得到餘數作為CRC校驗碼。校驗時，以計算的校正結果是否為0為據，判斷資料幀是否出錯。
CRC校驗可以100％地檢測出所有奇數個隨機錯誤和長度小於等於k（k為g（x）的階數）的突發錯誤。所以CRC的生成多項式的階數越高，那麼誤判的概率就越小。CCITT建議：2048 kbit/s的PCM基群裝置採用CRC-4方案，使用的CRC校驗碼生成多項式g（x）= 。採用16位CRC校驗，可以保證在  bit碼元中只含有一位未被檢測出的錯誤 。在IBM的同步資料鏈路控制規程SDLC的幀校驗序列FCS中，使用CRC-16，其生成多項式g（x）= ；而在CCITT推薦的高階資料鏈路控制規程HDLC的幀校驗序列FCS中，使用CCITT-16，其生成多項式g（x）= 。CRC-32的生成多項式g（x）= 。CRC-32出錯的概率比CRC-16低 倍 。由於CRC-32的可靠性，把CRC-32用於重要資料傳輸十分合適，所以在通訊、計算機等領域運用十分廣泛。在一些UART通訊控制晶片（如MC6582、Intel8273和Z80-SIO）內，都採用了CRC校驗碼進行差錯控制；乙太網卡晶片、MPEG解碼晶片中，也採用CRC-32進行差錯控制。
二、CRC校驗碼的演算法分析
CRC校驗碼的編碼方法是用待發送的二進位制資料t（x）除以生成多項式g（x），將最後的餘數作為CRC校驗碼。其實現步驟如下：
（1） 設待發送的資料塊是m位的二進位制多項式t（x），生成多項式為r階的g（x）。在資料塊的末尾新增r個0，資料塊的長度增加到m+r位，對應的二進位制多項式為 。
（2） 用生成多項式g（x）去除 ，求得餘數為階數為r-1的二進位制多項式y（x）。此二進位制多項式y（x）就是t（x）經過生成多項式g（x）編碼的CRC校驗碼。
（3） 用 以模2的方式減去y（x），得到二進位制多項式 。 就是包含了CRC校驗碼的待發送字串。
從CRC的編碼規則可以看出，CRC編碼實際上是將代傳送的m位二進位制多項式t（x）轉換成了可以被g（x）除盡的m+r位二進位制多項式 ，所以解碼時可以用接受到的資料去除g（x），如果餘數位零，則表示傳輸過程沒有錯誤；如果餘數不為零，則在傳輸過程中肯定存在錯誤。許多CRC的硬體解碼電路就是按這種方式進行檢錯的。同時 可以看做是由t（x）和CRC校驗碼的組合，所以解碼時將接收到的二進位制資料去掉尾部的r位資料，得到的就是原始資料。
為了更清楚的瞭解CRC校驗碼的編碼過程，下面用一個簡單的例子來說明CRC校驗碼的編碼過程。由於CRC-32、CRC-16、CCITT和CRC-4的編碼過程基本一致，只有位數和生成多項式不一樣。為了敘述簡單，用一個CRC-4編碼的例子來說明CRC的編碼過程。
設待發送的資料t（x）為12位的二進位制資料100100011100；CRC-4的生成多項式為g（x）= ，階數r為4，即10011。首先在t（x）的末尾新增4個0構成 ，資料塊就成了1001000111000000。然後用g（x）去除 ，不用管商是多少，只需要求得餘數y（x）。下表為給出了除法過程。
除數次數 被除數/ g（x）/結果     餘數
0  1 001000111000000 100111000000
 1 0011
 0 000100111000000
1  1 00111000000   1000000
 1 0011 
 0 00001000000
2  1 000000 1100
 1 0011
 0 001100

從上面表中可以看出，CRC編碼實際上是一個迴圈移位的模2運算。對CRC-4，我們假設有一個5 bits的暫存器，通過反覆的移位和進行CRC的除法，那麼最終該暫存器中的值去掉最高一位就是我們所要求的餘數。所以可以將上述步驟用下面的流程描述：
//reg是一個5 bits的暫存器
把reg中的值置0. 
把原始的資料後新增r個0. 
While (資料未處理完) 
Begin 
If (reg首位是1) 
reg = reg XOR 0011. 
把reg中的值左移一位，讀入一個新的資料並置於register的0 bit的位置。 
End
reg的後四位就是我們所要求的餘數。
這種演算法簡單，容易實現，對任意長度生成多項式的G（x）都適用。在傳送的資料不長的情況下可以使用。但是如果傳送的資料塊很長的話，這種方法就不太適合了。它一次只能處理一位資料，效率太低。為了提高處理效率，可以一次處理4位、8位、16位、32位。由於處理器的結構基本上都支援8位資料的處理，所以一次處理8位比較合適。
為了對優化後的演算法有一種直觀的瞭解，先將上面的演算法換個角度理解一下。在上面例子中，可以將編碼過程看作如下過程：
 由於最後只需要餘數，所以我們只看後四位。構造一個四位的暫存器reg，初值為0，資料依次移入reg0（reg的0位），同時reg3的資料移出reg。有上面的演算法可以知道，只有當移出的資料為1時，reg才和g（x）進行XOR運算；移出的資料為0時，reg不與g（x）進行XOR運算，相當與和0000進行XOR運算。就是說，reg和什麼樣的資料進行XOR移出的資料決定。由於只有一個bit，所以有 種選擇。上述演算法可以描述如下，
//reg是一個4 bits的暫存器
初始化t[]={0011,0000}
把reg中的值置0. 
把原始的資料後新增r個0. 
While (資料未處理完) 
Begin 
把reg中的值左移一位，讀入一個新的資料並置於register的0 bit的位置。
reg = reg XOR t[移出的位]
End
上面演算法是以bit為單位進行處理的，可以將上述演算法擴充套件到8位，即以Byte為單位進行處理，即CRC-32。構造一個四個Byte的暫存器reg，初值為0x00000000，資料依次移入reg0（reg的0位元組，以下類似），同時reg3的資料移出reg。用上面的演算法類推可知，移出的資料位元組決定reg和什麼樣的資料進行XOR。由於有8個bit，所以有 種選擇。上述演算法可以描述如下：
//reg是一個4 Byte的暫存器
初始化t[]＝{…}//共有 ＝256項
把reg中的值置0. 
把原始的資料後新增r/8個0位元組. 
While (資料未處理完) 
Begin 
把reg中的值左移一個位元組，讀入一個新的位元組並置於reg的第0個byte的位置。
reg = reg XOR t[移出的位元組]
End
演算法的依據和多項式除法性質有關。如果一個m位的多項式t（x）除以一個r階的生成多項式g（x）， ，將每一位 （0=<k<m）提出來，在後面不足r個0後，單獨去除g（x），得到的餘式位 。則將 後得到的就是t（x）由生成多項式g（x）得到的餘式。對於CRC-32，可以將每個位元組在後面補上32個0後與生成多項式進行運算，得到餘式和此位元組唯一對應，這個餘式就是上面演算法種t[]中的值，由於一個位元組有8位，所以t[]共有 ＝256項。多項式運算性質可以參見參考文獻[1]。這種演算法每次處理一個位元組，通過查表法進行運算，大大提高了處理速度，故為大多數應用所採用。
三、CRC-32的程式實現。
為了提高編碼效率，在實際運用中大多采用查表法來完成CRC-32校驗，下面是產生CRC-32校驗嗎的子程式。
unsigned long  crc_32_tab[256]={
0x00000000, 0x77073096, 0xee0e612c, 0x990951ba, 0x076dc419, 0x706af48f, 0xe963a535, 0x9e6495a3,0x0edb8832,…, 0x5a05df1b, 0x2d02ef8d
};//事先計算出的引數表，共有256項，未全部列出。

unsigned long GenerateCRC32(char xdata * DataBuf,unsigned long  len)
{
unsigned long oldcrc32;
unsigned long crc32;
unsigned long oldcrc;
unsigned  int charcnt;
        char c,t;
oldcrc32 = 0x00000000; //初值為0
    charcnt=0;
while (len--) {
                t= (oldcrc32 >> 24) & 0xFF;   //要移出的位元組的值
oldcrc=crc_32_tab[t];         //根據移出的位元組的值查表
                c=DataBuf[charcnt];          //新移進來的位元組值
                oldcrc32= (oldcrc32 << 8) | c;   //將新移進來的位元組值添在暫存器末位元組中
                oldcrc32=oldcrc32^oldcrc;     //將暫存器與查出的值進行xor運算
                charcnt++;
}
        crc32=oldcrc32;
        return crc32;
}
引數表可以先在PC機上算出來，也可在程式初始化時完成。下面是用於計算引數表的c語言子程式，在Visual C++ 6.0下編譯通過。
#include <stdio.h>
unsigned long int crc32_table[256];
unsigned long int ulPolynomial = 0x04c11db7;
unsigned long int Reflect(unsigned long int ref, char ch)
{ unsigned long int value(0);
// 交換bit0和bit7，bit1和bit6，類推
for(int i = 1; i < (ch + 1); i++)
{ if(ref & 1)
value |= 1 << (ch - i);
     ref >>= 1; }
return value;
}
init_crc32_table()
{ unsigned long int crc,temp;
// 256個值
for(int i = 0; i <= 0xFF; i++)
{   temp=Reflect(i, 8);
crc32_table[i]= temp<< 24;
for (int j = 0; j < 8; j++){
     unsigned long int t1,t2;
 unsigned long int flag=crc32_table[i]&0x80000000;
 t1=(crc32_table[i] << 1);
 if(flag==0)
   t2=0;
 else
   t2=ulPolynomial;
 crc32_table[i] =t1^t2 ; }
crc=crc32_table[i];
crc32_table[i] = Reflect(crc32_table[i], 32);
}
}
結束語
    CRC校驗由於實現簡單，檢錯能力強，被廣泛使用在各種資料校驗應用中。佔用系統資源少，用軟硬體均能實現，是進行資料傳輸差錯檢測地一種很好的手段。