一．Catalan數 C(n)

　　C(n) 的一個形象的例子是：2*n個括號，其中有n個前括號'('和n個後括號')'，排成一列，滿足所有括號都匹配的排列數。另一個例子是，n個1和n個-1，共2*n個數，排成一列，滿足對所有0<=k<=2*n的前k個數的部分和Sk>=0的排列數。

　　C(n)的遞推公式是 C(n) = ∑(i = 0 : n-1) { C(n-1-i)*C(i) }

　　C(n)的通項公式是 C(n) = ( 1/(n+1) ) * ((2n, n))  ，(( ))表示組合數

　　初始值 C(0) = 1

二．卡特蘭數的擴充套件

　　問題1的描述：有n個1和m個-1（n>=m），共n+m個數排成一列，滿足對所有0<=k<=n+m的前k個數的部分和Sk > 0的排列數。 問題等價為在一個格點陣列中，從（0，0）點走到（n，m）點且不經過對角線x==y的方法數（x > y）。

　　考慮情況I：第一步走到（0，1），這樣從（0，1）走到（n，m）無論如何也要經過x==y的點，這樣的方法數為(( n+m-1,m-1 ));

　　考慮情況II：第一步走到（1，0），又有兩種可能：

　　　　a . 不經過x==y的點；（所要求的情況）

　　　　b . 經過x==y的點，我們構造情況II.b和情況I的一一對映，說明II.b和I的方法數是一樣的。設第一次經過x==y的點是（x1，y1），將（0，0）到（x1，y1）的路徑沿對角線翻折，於是唯一對應情況I的一種路徑；對於情況I的一條路徑，假設其與對角線的第一個焦點是（x2，y2），將（0，0）和（x2，y2）之間的路徑沿對角線翻折，唯一對應情況II.b的一條路徑。

　　問題的解就是總的路徑數 ((n+m, m)) - 情況I的路徑數 - 情況II.b的路徑數。

　　　　((n+m , m)) - 2*((n+m-1, m-1))

　　或：  ((n+m-1 , m)) - ((n+m-1 , m-1))

　　問題2的描述：有n個1和m個-1（n>=m），共n+m個數排成一列，滿足對所有0<=k<=n+m的前k個數的部分和Sk >= 0的排列數。（和問題1不同之處在於此處部分和可以為0，這也是更常見的情況） 問題等價為在一個格點陣列中，從（0，0）點走到（n，m）點且不穿過對角線x==y的方法數（可以走到x==y的點）。 

把（n，m）點變換到（n+1，m）點，問題變成了問題1。

　　方法數為：

　　　　((n+m+1, m)) - 2*((n+m+1-1, m-1))

　　或： ((n+m+1-1, m)) - ((n+m+1-1, m-1))

s(p,k)的一個的組合學解釋是：而個人分成組做環排列的方法數目。

s(p,k)的遞推公式： s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1

邊界條件：s(p,0)=0 ,p>=1  s(p,p)=1  ,p>=0

遞推關係的說明：

考慮第p個物品，p可以單獨構成一個非空迴圈排列，這樣前p-1種物品構成k-1個非空迴圈排列，方法數為s(p-1,k-1)；

也可以前p-1種物品構成k個非空迴圈排列，而第p個物品插入第i個物品的左邊，這有(p-1)*s(p-1,k)種方法。

第二類Stirling數 S(p,k)

S(p,k)的一個組合學解釋是：將p個物體劃分成k個非空的不可辨別的（可以理解為盒子沒有編號）集合的方法數。

k!S(p,k)是把p個人分進k間有差別(如：被標有房號）的房間(無空房）的方法數。

S(p,k)的遞推公式是：S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

邊界條件：S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1

遞推關係的說明：

考慮第p個物品，p可以單獨構成一個非空集合，此時前p-1個物品構成k-1個非空的不可辨別的集合，方法數為S(p-1,k-1)；

也可以前p-1種物品構成k個非空的不可辨別的集合，第p個物品放入任意一箇中，這樣有k*S(p-1,k)種方法。

第一類斯特林數和第二類斯特林數有相同的初始條件，但遞推關係不同。

PS：插板法與第二類stirling數都是用來處理n個物品分為p份的處理方法。其區別在於：對於插板法來說，

每個物品是等價的，沒有差別的；而對於stirling數來說，每個物品各不相同。

題意：給N個元素，讓我們求K個環排列的方法數。

斯特林第一類數的第推公式：

S（N，0）=0; S（N，N）=1； S（0，0）=0； S（N，K）=S（N-1，K-1）+S（N-1，K）*（N-1）；

這個公式的意思是：當前N-1個數構成K-1 個環的時候，加入第N個 ，N只能構成單環！—S（N-1，K-1）如果N-1個數構

成K個環的時候，加入第N個，N可以任意加入，N-1內的一個環裡，所以（N-1）*S（N-1，K）這個題目裡，因為不能破壞

第1個門：所以 S（N，K）-S（N-1，K-1）才是能算構成K個環的方法數！就是去掉1自己成環的情況 。

1. #include<stdio.h>
2. #include<string.h>
3. #define N 21
4. __int64 fac[N]={1,1};  
5. __int64 stir[N][N];  
6. void init()  
7. {  
8.     int i, j;  
9.     for(i=2;i<N;i++)  
10.         fac[i]=i*fac[i-1];  
11.     memset(stir,0,sizeof(stir));  
12.     stir[0][0]=0;  
13.     stir[1][1]=1;  
14.     for(i=2;i<N;i++)  
15.        for(j=1;j<=i;j++)  
16.            stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+(i-1)*stir[i-1][j];  
17. }  
18. int main()  
19. {  
20.     init();  
21.     int t;  
22.     scanf("%d",&t);  
23.     while(t--)  
24.     {  
25.          int n, k, i;  
26.          scanf("%d %d",&n,&k);  
27.          __int64 cnt=0;  
28.          for(i=1;i<=k;i++)  
29.              cnt+= stir[n][i] - stir[n-1][i-1];//注意：去掉1自己成環的
30.          printf("%.4lf\n",1.0*cnt/fac[n]);  
31.     }  
32.     return 0;  
33. }