0） 引論

正如名字所言，最短路徑演算法就是為了找到一個圖中，某一個點到其他點的最短路徑或者是距離。

最短路徑演算法一般分為四種情況：

a） 無權重的最短路徑

b） 有權重的最短路徑

c） 邊的權重為負的圖

d） 無圈的圖

ps：上面的情況針對的都是有向圖。

1） 無權重的最短路徑

下圖是一個例子：假設我們取點v3作為初始點，計算點v3到圖中所有點的路徑以及距離（包括點v3）。

a） v3到v3的路徑長為0。

b） 沿著v3的鄰接點查詢，找到v1，那麼v3到v1的路徑長為1；找到v6，那麼v3到v6的路徑長為1。

c） v3的鄰接點已經找完了，接下來找v1，v6的鄰接點。

d） v1的鄰接點為v2，v4，它們對應的路經長為2；v6無鄰接點，v6部分結束。

e） v2的鄰接點為v4，v5，而v4已經查詢過了，捨棄；v2到v5的路徑長為3；v4的鄰接點為v5，v7，而v5已經查詢過了，捨棄；v4到v7的路徑長為3。

f） 至此，結束。

對於這一步驟，可以用一個表格來表示，以便於程式設計理解：

表中有3個表示狀態的變數：

a） dv表示點s到圖中每個點的距離，結合上面的例子，s=v3.

b） pv表示圖中點的路徑前繼點。

c） Known表示點是否被處理，處理了，則標記為1 。

虛擬碼：

void Unweighted(Table T)
{
	int CurrDist;
	Vertex V,W;
	for(CurrDist=0;CurrDist<NumVertex;CurrDist++)
	{
		for each vertex V
			if(!T[V].Known&&T[V].Dist==CurrDist)
			{
				T[V].Known = True;
				for each W adjacent to V
					if(T[W].Dist == Infinity)
					{
						T[W].Dist = CurrDist+1;
						T[W].Path = V;
					}
			}
	}
}
 

通拓撲排序一樣，對於上面的程式也是存在改進的地方的（第07行），我們沒有必要去對each vertex V做一下這麼多的步驟，只需要對相鄰接的點做就好了。因此用一個佇列來使每一個處理的點入隊，然後處理其鄰接的點。

void Unweighted(Table T)
{
	Queue Q;
	Vertex V,W;

	Q = CreateQueue(NumVertex);
	MakeEmpty(Q);
	Enqueue(S,Q);//S is the start Vertex

	while(!IsEmpty(Q))
	{
		V = Dequeue(Q);
		T[V].Known=True;
		for each W adjacent to V
			if(T[W].Dist == Infinity)
			{
				T[W].Dist = T[V].Dist+1;
				T[W].Path = V;
				Enqueue(W,Q);
			}
	}
	Free(Q);
}
 

有權重的最短路徑演算法，稱之為Dijkstra‘s algorithm。相對於無權重的最短路徑演算法，有權重的最短路徑演算法會顯得難一點，這是因為權重的引入會使某些路徑的加權重長度發生顛倒。

Dijkstra‘s algorithm是一種greedy algorithm。貪婪演算法就是在演算法的每一個階段都取最大值。一般情況下，貪婪演算法能取得較好的效果。但是貪婪演算法是有其缺陷的，也就是說能達到區域性最優，而未必能達到全域性最優，舉個例子，假設要兌換15分的硬幣，而硬幣有12分的，10分的，5分的，1分的，那麼根據貪婪演算法，最終的兌換結果為1個12分的，3個一分的；而最優結果應該是一個10分的，一個5分的。（這裡我們定義最優為硬幣個數最少）。

Dijkstra‘s algorithm的步驟是：

對於每一個階段，Dijkstra‘s algorithm會在所有未處理的點中選取一個最小距離的點v，然後把給定點s到v的路徑定義為最小路徑。

下面是一個例子：

對應的表的形式表示：

下面是具體的實現說明：

a） 最初的點s=v1；計算s到圖中所有點的最短路徑。

b） 找到v1鄰接的點v2，v4，分別標出s到v2，v4的路徑長，同時對v1標註T[v1].Known=1。

c） 由於v4路徑長較小，因此選擇v4，找到v4鄰接的點v3，v5，v6，v7，標註出他們的路徑長；同時對v1標註T[v4].Known=1。

d） 現有的所有未處理路徑中v2最短，因此處理v2，找到v2鄰接的點v4，v5； v2到v4，v5的路徑長遠大於v4，v5已有的路徑長，因此不更新。同時T[v2].Known=1。

e） 現有的所有未處理路徑中v3，v5最短，處理v3，鄰接點為v1，v6，路徑分別為7,8；對於v3到v6的距離，因為8<9，因此需要更新；對於v3到v1的距離不需要更新。同時T[v3].Known=1。

f）  對於v5，鄰接點為v7，v5到v7的路徑長為 3+6>5，因此不更新；同時T[v5].Known=1。

g） 現在處理v7，v7的鄰接點為v6，v7到v6的路徑長為5+1<8，因此需要更新；同時T[v7].Known=1。

h） 現在處理v6，v6沒有鄰接點了，因此可以結束了。同時T[v6].Known=1。

虛擬碼實現：

typedef int Vertex;
typedef int DistType;

struct TableEntry
{
	List Header;
	int Known;
	DistType Dist;
	Vertex Path;
}

#define NotAVertex (-1)
typedef struct TableEntry Table[NumVertex];

void InitTable(Vertex Start,Graph G,Table T)
{
	int i;
	ReadGraph(G,T);
	for(i=0;i<NumVertex;i++)
	{
		T[i].Known = 0;
		T[i].Dist = Infinity;
		T[i].Path = NotAVertex;
	}
	T[Start].Dist = 0;
}

void Dijkstra(Table T)
{
	Vertex V,W;
	for(;;)
	{
		V = FindSmallestUnknownDistanceVertex();
		if(V==NotAVertex)
			break;
		T[V].Known = Ture;
		for each W adjacent to V
			if(!T[V].Known)
				if(T[V].Dist+Cvw<T[W].Dist)
				{
					Decrease(T[W].Dist to T[V].Dist+Cvw);
					T[W].Path = V;
				}
	}
}

3） 邊的權重為負的圖

邊的權重為負，這將是一個比較糟糕的事情，這無法利用上面的兩種方法處理，因為只要迴圈負邊，則路徑可以無限變小，如下圖所示：

點1到點6的最短路徑是2麼？當然不是，我們沒法求出其最短路徑，因為我們可以沿著路徑1,6,5,7,6這樣一次下來，路徑為-3，由於6,5,7,6是一個圈，我們可以一直迴圈下去且路徑為負值，因此無法確定點1到點6的最短路徑。

那麼遇到這種問題該怎麼解決呢？

a） 給所有權重加上一個正值，是所有權重均為非負，上面的例子中，所有權重加上11，則就可以應用Dijkstra方法處理了。

4） 無圈的圖

對於無圈圖，也可以應用Dijkstra方法處理，無圈圖也可以看做是上面的一種特例。對於無圈圖，可以利用拓撲排序的順序選擇起始點，權重的更新也可以按照拓撲排序的順序進行，因此演算法可以一次進行，這個可以看做是對Dijkstra方法的改進，並且是向簡單方向的改進。

無圈圖可以模擬像下坡滑雪等問題，一直需要沿著向下的方向，不應該有圈。

而無圈圖的最大應用不在這裡，而是一個被稱之為關鍵路徑分析法的應用。

如下圖所示：

這幅圖表示的意思是要想做D中的事情，必須先做完A和B，而A,B則是可以並行的。因此這個圖中的問題不是尋找最短路徑，而是找到並行完成圖中的所有點所需要的最短時間，以及最晚的時間。

解決這個問題需要把上面的動作節點圖轉換為下面的事件節點圖

對於事件節點圖，只需要找出第一個事件到最後一個事件的最長路徑的長就好了。

假設ECi表示節點i的最早完成時間，那麼利用下面的法則

最早完成時間結果為：