資料結構與演算法（四）二叉樹結構
1.二叉樹定義
樹結構產生的由來：為了解決陣列和連結串列在修改元素和查詢元素的複雜度上做平衡。樹是一種半線性結構，經過某種遍歷，即可確定某種次序。以平衡二叉搜尋樹為例，修改與查詢的操作複雜度均在O(logn)時間內完成。
樹的性質：連通無環圖，有唯一的根，每個節點到根的路徑唯一。有根有序性。
節點的深度:節點到根部的邊的數目。樹高為深度最大值。內部節點，葉節點，根部節點。節點有高度，深度，還有度數。
節點高度：對應節點子樹的高度，葉節點高度為0.，由該子樹某一葉節點的深度確定。節點度數：其孩子總數。
二叉樹：應用廣泛。每個節點的度數不超過2.有序二叉樹樹，孩子作為左右區分。
K叉樹：每個節點的孩子均不超過K個。
將有序多叉樹轉化為二叉樹：滿足條件為同一節點的所有孩子之間滿足某一線性次序。轉化條件：為每個節點指定兩個指標，分別指向其長子和下一兄弟。
應用：編碼問題。每一個具體的編碼方案都對應於一顆二叉編碼樹。
例如：原始ASCII文字經過編碼器成為二進位制流，再經過解碼器成為文字資訊。每一個文字的基本組成單位都是一個字元，由一個特定字符集構成。編碼表表示某一個字元所對應的特定二進位制串。關鍵是確定編碼表。根據編碼表來解碼和編碼。
字首無歧義編碼：各字元的編碼串互不為字首，可保證解碼無歧義。PFC編碼。
二叉編碼樹：將字元對映到二叉樹的葉節點，由葉節點到根部的二進位制串。由二叉編碼樹可構建編碼表，可順利編碼。
解碼是：從前向後掃描該串，同時在樹中移動，直至抵達葉節點，輸出字元。再次回到根節點。這一解碼過程可在接受過程中實時進行，屬於線上演算法。
關鍵問題：如何構造PFC編碼樹呢？
二，如何構建二叉樹
二叉樹的基本組成單位：節點
節點成員：節點值，父節點指標，左右孩子節點指標，節點高度。
建構函式：預設構造，初始值構造；
操作介面：節點後代總數，插入左右孩子節點（約定當前節點無左右孩子），取直接後繼節點（中序遍歷後的次序），子樹四種遍歷，比較，判等。
在二叉樹節點的類的基礎上構建二叉樹類。
樹成員：樹規模，根節點指標
樹建構函式：預設建構函式，解構函式
樹操作介面：規模，判空，樹根指標，插入根節點，插入左右孩子或左右子樹，刪除某節點子樹，遍歷，比較器，節點高度更新。
高度更新策略:每當有節點加入或離開二叉樹，則更新其所有祖先的高度。
在每一節點V處，只需讀取其左右孩子的高度並取二者之間的最大值，再計入當前節點本身，就得到了V的新高度。
樹的遍歷：按照某種約定的次序，對各節點訪問依次且一次。
各節點與其孩子之間約定某種區域性次序。V，L，R。有VLR,LVR,LRV三種選擇。先中後，可知先左後右是必須的，只是V的次序傳送變化。
輸入：樹節點位置X
輸出：向量visit，即為遍歷後的次序
遞迴呼叫：
travaPre(x,visit){
if x 為空，則返回；
visit（x->data）;
travaPre(x->lc,visit);
travaPre(x->rc,visit);
}
遞迴版均為線性時間，但常係數較大。
可觀察知右子樹為尾遞迴，左子樹為接近於尾遞迴，且不為線性遞迴。
一般消除尾遞迴，可用while迴圈解決。
迭代版：消除尾遞迴的一般性方法，即藉助輔助棧來解決。
先序遞迴的訪問區域性次序為根，左，右。要保證每個節點均會被訪問到，且只能訪問一次。即要求每個節點均會被入棧，且也會被彈出，且均只有一次。當棧為空，則結束。可簡單推匯出棧的彈出規律。
迭代先序方法一：簡單式方法，根據訪問次序，嚴格尾遞迴解決。trePre(x,visit){
stack<>s;
if(x) s.push(x);
while(!s.empty()){
x=s.pop();visit(x);
if(x->rc) s.push(x->rc);
if(x->lc) s.push(x->lc);
}
}
迭代先序方法二：批次入棧，然後訪問.一般性方法是第一批先入棧並訪問，直到葉節點。
trepre(x,visit){
stack<>s;
while(true){
visitFirst(x,visit,s);
if(s.empty()) break;
x = S.pop();
}
}
visitFirst(x.visit,s){
while(x){
visit(x);
if(x->rc) s.push(x->rc);
x=x->lc;
}
}
迭代中序方法：trepre(x,visit){
stack<>s;
while(true){
visitFirst(x,visit,s);
if(s.empty()) break;
x = S.pop();visit(x);
}
}
visitFirst(x.visit,s){
while(x){
s.push(x);
x=x->lc;
}
}
迭代版後序方法：關鍵是抓主停止入棧的條件。迭代後序停止入棧的條件為
：左節點為葉節點時，停止入棧。trepre(x,visit){
stack<>s;
if(x) s.push(x);
while(true){
if(x->parent!=s.top())
{visitFirst(s.top(),visit,s);}
if(s.empty()) break;
x = S.pop();visit(x);
}
}
visitFirst(x.visit,s){
while(x){
if(x->right) s.push(x->right);
if(x->left) ) s.push(x->left);x=x->left;
if(!x->left && x->right) x=x->right;
if(!x->left && !x->right) break;
}
}
由以上總結可知，不管是先序,中序還是後序，均可用同一種演算法解決。只是先序的第一種演算法更加簡單。
樹的層次遍歷：也即廣度優先遍歷。節點訪問次序為先上後下，先左後右。輔助佇列的規模為n/2，包含滿二叉樹。演算法如下：
迭代式層次遍歷：佇列來解決。
travel（x,visit）{
Queue<> q;
if(x) q.enqueue(x);
while(!q.empty()){
x=q.dequenue();visit(x);
if(x->lc) q.enqueue(x->lc);
if(x->rc) q.enqueue(x->rc);
}
}
按入隊的次序將從0起將各節點X編號為r(x).則從0-n都對應於完全二叉樹中的某一個節點。將所有節點存入向量結構，各節點的rank即為其編號。即完全二叉樹節點以層次遍歷所得到的順序存入向量結構中。即可提高對樹的儲存和處理效率。那麼又如何知道節點之間的關係呢？滿足以下規律：
r(L)=r(x)*2+1;即可。完全二叉樹：葉節點只能出現在最底部的兩層，且最底層葉節點均處於次底層葉節點的左側。高度為h的完全二叉樹，規模介於2h和2h-1之間。規模為n的完全二叉樹，高度為log2N.
滿二叉樹：所有葉節點均處於最底層。
三 如何構建PFC編碼樹
ASCII文字---->編碼器（編碼樹，向量實現編碼森林）---->解碼器（基於樹的遍歷）---->文字。
根據字符集構造編碼樹，從而得編碼表也就是字典得形式，從而將文字轉換為二進位制流。
根據編碼樹得遍歷對二進位制流解碼為字元。
可自底而上地構造PFC編碼樹。首先，由每一個字元分別構造一顆單節點二叉樹，並將其視作一個森林。此後，反覆從森林中取出兩顆樹合二為一。經過n-1次迭代後，初始森林中得n顆樹將合併為一顆完整得PFC編碼樹。接下來，再將PFC編碼樹轉譯為編碼表。演算法如下：
演算法總體框架:向量實現PFC森林，其中各元素對應於一顆編碼樹，其data為相應字元。
1.初始化PFC森林：
建立空森林，對每一個可列印得字元，建立一顆相應得PFC編碼樹，並
將字元作為根節點插入到PFC編碼樹中。返回PFC森林。
2.構造完整得PFC編碼樹：
設定隨機數time
while迴圈字元數-1次：
建立新樹S“^”;隨機選取森林中的第r1顆樹，將其作為S的左子樹接入，
然後剔除森林中的r1樹，隨機選取森林中的r2樹，將其作為S的右子樹接入。
然後剔除森林中的r2樹，合併後的PFC樹重新植入森林。
最後，該向量只剩一棵樹，並返回。
3.生成PFC編碼表：
通過遍歷的方式獲取從根節點到葉節點的字串。
如何記錄該字串？用string或者點陣圖。
類似先序遍歷的遞迴模式。區域性子結構為VLR。也就是說先序遍歷模式可用來獲取從根節點到葉節點的每一條路徑。
結果，返回字典，記錄每一個字元所對應的字串。
該樹的葉節點均為字元樹，內部節點和根節點均為字元“^”.
PFC編碼樹的高度不統一，不平衡的狀態表明其並不一定是最優編碼樹。還可以優化。
平均編碼長度也就是葉節點平均深度。最優編碼樹不唯一但存在。其特點是：真二叉樹，葉節點深度之差不超過一。真完全樹滿足要求。構造方法：建立包含2*n-1個節點的真完全二叉樹，並將字元分配給n個葉節點，即可得到一顆最優編碼樹。四，如何構建Huffman編碼演算法
最優編碼樹的實際應用價值並不大，所以如何衡量平均編碼長度？
1.帶權平均編碼長度 與字元出現概率有關。退出最優帶權編碼方案。
策略與演算法：對於字元出現概率已知的任一字符集A，可採用如下演算法構造以下編碼樹：
HUFFMAN編碼演算法：
1.對於字符集中的每一個字元，分別建立一顆樹，其權重為該字元的頻率。
2.從該森林中取出兩顆權重最小的樹，建立一個新節點，合併它們，其權重取作二者權重之和。依次迭代即可
3.再次強調HUFFMAN編碼樹只是最優帶權編碼樹中 的一顆。
關鍵點是如何找到森林中權重最小的兩顆樹？用遍歷法。
首先在計算字符集的頻率時就已知其順序。那麼在構造森林時，即可按順序排列，用向量來做。從小到大。
首先取出兩個最小的，移除後，再合併插入原向量，就要查詢位置，用二分查詢。然後插入。從而更新順序。
移除和查詢，還有插入均花時間。移除O（n），查詢o(logn),插入。
用列表來做，查詢最小值花時間，插入和刪除很快。五，平衡二叉搜尋樹
要求物件集合的組成可以高效率的調整，又可以高效率的查詢，所以需要有樹。查詢分為循RANK訪問，循關鍵碼訪問。資料物件均表示為詞條形式。詞條擁有兩個變數KEY ,VALUE。KEY可以比較。
二叉搜尋樹。條件：順序性。任一節點的左子樹的所有節點必不大於該節點，其右子樹的所有節點必不小於該節點。也就是說：R>=V>=L。
特點：中序遍歷單調非降。中序遍歷一致的二叉搜尋樹為等價二叉搜尋樹。
查詢演算法：減而治之策略，與二分查詢類似。返回查詢位置，若成功則返回該節點，若失敗返回其父親位置和返回空。
控制查詢時間，必須控制二叉搜尋樹的高度。
插入演算法：先查詢具體位置，再插入，再更新祖先高度。若有相同節點則失敗。取決於樹高。
刪除演算法：分為兩種情況，一是隻有一個孩子時：將其替換為其孩子也就是其父節點指向其孩子，同時釋放該節點，更新祖先高度。
雙分支情況：1.找到該節點後繼，交換二者的資料項，將後繼節點等效視為待刪除的目標節點。轉到情況一。總體複雜度也取決於樹的高度。
平衡二叉搜尋樹：採取的平衡為適度平衡，而不是理想平衡。AVL樹，伸展樹，紅黑樹，kd-樹均屬於平衡二叉搜尋樹。
適度平衡性是通過對樹中的每一區域性增加某種限制條件形成的。任何二叉搜尋樹均可等價變換為平衡二叉搜尋樹，但在最壞情況下可花費O(n)時間。
區域性性失衡調整方法：圍繞特定點的旋轉。
ZIG：兩個節點，三個子樹，旋轉。節點，C,V，子樹X,Y,Z,。C為V的左孩子，Z為V的右孩子，X,Y為C的左右孩子。
V的ZIG旋轉:V的父節點指向C，C的左右孩子為X，V。V的左右孩子為Y,Z。V的右旋，V成為C的右孩子。
同理：zag：節點C,V。C為V的右孩子。V的父節點指向C，C的左右孩子為V，Z。V的左右孩子為X,Y。V的左旋，V成為C的左孩子。
六，AVL樹
定義：平衡因子受限的二叉搜尋樹，各節點的左右子樹高度相差不超過一。插入刪除均在O(LOGN)時間內完成。
1.完全二叉搜尋樹必是AVL樹。
經過插入與刪除而失衡的搜尋樹重新恢復平衡的調整演算法。
插入節點後失衡的節點為X的祖先且高度不低於X的祖父。
平衡演算法：從X節點自低向上找到第一個失衡者。記為G，在X與G的通路上，P為G的孩子，V為P的孩子。
V可能為X，也可能為X的祖先。
最重要的是G,P,V三個節點，找到它們。經過旋轉，使得G重新平衡，則整樹可恢復平衡。
插入演算法：
確認目標節點不存在，返回其父節點。
從父節點出發，找到第一個失衡節點：
若失衡則：
該節點為G，找到節點V,根據G的孩子高的為P，P的孩子高的為V。若等高，優先取V與P同向 者。
1.根據G,P,V的不同情況，而進行不同的旋轉。G,P，V的高度發生變化。
2.根據3+4演算法使其恢復平衡。
退出。
不失衡：更新該節點高度。
刪除與插入演算法一樣，只是刪除演算法中只有一個失衡節點。
“3+4演算法”：
根據G，P,V三者的順序不同，所以connect34的引數也不同。
P,V同一方向節點，則P->PARENT=G->PARENT,不同則V->PARENT=G->PARENT;
connect34(a,b,c,T0,T1,T2,T3);
a,b,c代表G,P,V三者的中序遍歷順序。T0，T1，T2，T3代表四顆子樹的遍歷順序。
connect34: a->lc=T0;if(T0) T0->parent=a;
a->rc=T1,if(T1) T1->parent=a;updateHeight(a);
c->lc=T2,if(T2) T2->parent=c;
c->rc=T3;if(T3) T3->parent=c;updateheight(c);
b->lc=a;a->parent=b;
b->rc=c;c->parent=b;updateheight(b);
return b;
依次類推:對於調整區域性的旋轉問題，也可按類似方法解決。 