導數與積分入門
阿新 • • 發佈：2019-01-05
感謝我的朋友清影。
//話說我一篇FFT的文章好像吸了不少粉絲QAQ
//這篇文章因為是總結+自己的理解，所以應該有很多錯誤
//不過話說這本來就算是我的個人空間又不是去寫教程的QAQ
基礎知識引入：
引入斜率的概念：
我想先說一下廣義的斜率：
斜率是某一段的傾斜程度，我們可以認為，陡峭的上坡路的斜率要大於平緩的上坡路。斜率可以為負數，負的斜率自然是下坡路。
定義一段函式的斜率的公式：
然而一段函式並不總是一條直線，所以：
把斜率推廣到點：
某個點的斜率公式：
你可以認為：
如果我們想知道曲線A上的某一點C的斜率，也就是該點的傾斜程度
此時，C的斜率和曲線A在C處的切線斜率相等。
斜率反映了變化程度。
比如說吧我們買股票，然後我們在曲線趨近平緩的時候買了許多，顯然是不賺的，我們如果在這個股票隱隱有飛速上漲的趨勢的時候購買，顯然是划算的。
嗯……所以有人說買漲不買跌嘛……
所以斜率這個東西還是挺有用的。
然而為了引入導數我們不僅要介紹斜率，還要介紹極限的概念。
定義極限：
這個式子表示的是當x無限趨近於a時，f(x)就無限趨近於b。
我們拿一個簡單的例子來說：
嗯……找到感覺了吧……？
拿幾道例題來說話吧。
Prog1.
這個就是說，x無限趨近於1時，1 - x無限趨近於多少呢？
我們其實可以帶入x = 1，這個顯然是0嘛。
Prog2.
嗯……這個好像不能帶入了……
但是我們仔細考慮以下，x**無限趨近**於1，並不代表x等於1，也就意味著：這個式子可以化簡為
無論接近到什麼程度，都不是相等的。
而接近的那個目標值，即f(x)的值，就是極值。
然而：
可以從兩個方向接近，可以從右到左，也可以從左到右。
Prog3.
這個式子……
如果我們從右到左，那麼寫作：
它接近的值是正無窮。
如果我們從左到右，那麼寫作：
它接近的值是負無窮。
也就是說，從兩個方向接近得到的結果不同。
這種情況是沒有極限的。
即
是沒有極限的。
Prog4.
那麼
答案是存在的，因為從兩邊逼近，都是正無窮大。
我們發現極限有三種模式：
1.
2.
3.
我們先來找函式f(x)上任意一點A的斜率，那麼我們找到了和A(a,f(a))點無限逼近的點B(a + h,f(a + h))，則有AB的斜率：
嗯……我們仔細想想點A的斜率等於什麼？
沒錯這就是點A的斜率公式……
那麼這個算式
然而A是任意一點。
所以，f(x)整個函式的求導公式為：
我們拿個栗子來說一下：
我們要計算y = x在點(1,1)的斜率。
嗯……可以在最後約掉h，因為h不會等於0。
這樣我們就學會導數了，它能夠求任意一個點的斜率。
我們可以考慮二次函式
->